Задание 10 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,15 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется равномерно вдоль лестницы, поэтому в середине она равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l = \dfrac{h_1 + h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот.$$l = \dfrac{1{,}15 + 2{,}15}{2} = \dfrac{3{,}30}{2} = 1{,}65$$

Высота столба горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 2,4 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен посередине горки, поэтому его высота составляет половину высоты всей горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}4}{2} = 1{,}2$$

Движение концов рычага

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 1 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

1. 1
   Перемещения концов рычага пропорциональны длинам плеч.$$\dfrac{x}{0{,}5} = \dfrac{3}{1}$$
2. 2
   Находим перемещение конца длинного плеча.$$x = 0{,}5 \cdot \dfrac{3}{1} = 1{,}5$$

Угол между спицами

Колесо имеет 45 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Спицы делят полный угол вокруг центра колеса на 45 равных углов.$$360^\circ : 45$$
2. 2
   Находим величину одного угла:$$360^\circ : 45 = 8^\circ$$

Длина изгороди участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 15 метров. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 8 метров (см…

1. 1
   Внешняя изгородь имеет длину, равную периметру прямоугольника.$$P_{\text{прям}}=2(25+15)=80$$
2. 2
   Квадрат расположен в углу участка, поэтому две его стороны совпадают со сторонами прямоугольника. Дополнительно нужно установить только две стороны квадрата.$$P_{\text{доп}}=2\cdot 8=16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь кухни по плану

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Первая комната имеет размеры $3{,}5\ \text{м} \times 4\ \text{м}$, вторая — $3{,}5\ \text{м} \times 4{,}5\ \text{м}$, санузел…

1. 1
   По чертежу общая ширина квартиры равна ширине санузла и длине коридора:$$1{,}5 + 10 = 11{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина кухни равна общей ширине верхней части квартиры за вычетом ширины двух комнат:$$11{,}5 - 4 - 4{,}5 = 3\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь части участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 40 м и 30 м. Дом, расположенный на участке, на плане также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 9 м и 6 м. Найдите…

1. 1
   Найдём площадь дачного участка:$$S_1 = 40 \cdot 30 = 1200\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома:$$S_2 = 9 \cdot 6 = 54\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь оставшейся части участка

Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 35 м на 40 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 280 квадратных метров, причём граница участков проходит точно…

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного участка одного садовода.$$S_{\text{участка}} = 35 \cdot 40 = 1400\ \text{м}^2$$
2. 2
   Так как общая граница проходит через центр пруда, каждый садовод занимает половину площади пруда.$$S_{\text{пруда, одного садовода}} = \frac{280}{2} = 140\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь окрашенных ступеней

Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 40 см, высота — 20 см, а ширина — 95…

1. 1
   Окрашенная поверхность состоит из пяти горизонтальных площадок. Их суммарная площадь равна:$$S_1=5\cdot40\cdot95=19000\ \text{см}^2$$
2. 2
   Также окрашены пять вертикальных поверхностей ступеней. Их суммарная площадь равна:$$S_2=5\cdot20\cdot95=9500\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между стрелками часов

Какой наименьший угол (в градусах) образуют минутная и часовая стрелки часов в 9:00?

1. 1
   В 9:00 минутная стрелка направлена на 12, а часовая стрелка — на 9.
2. 2
   Между соседними делениями циферблата угол равен:$$360^\circ : 12 = 30^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние до фонаря

На каком расстоянии (в метрах) от столба, на котором висит фонарь, стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, а высота столба 9 м?

1. 1
   Большой и малый треугольники подобны: их вертикальные стороны имеют длины 9 м и 2 м, а основания — $x+1$ м и 1 м.$$\dfrac{9}{x+1}=\dfrac{2}{1}$$
2. 2
   Решаем пропорцию.$$9=2(x+1),\quad x+1=4{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Количество кафельных плиток

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,6 м и 3,6 м?

1. 1
   Найдём площадь стены:$$S_{\text{стены}} = 2{,}6 \cdot 3{,}6 = 9{,}36\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём сторону плитки в метры и найдём её площадь:$$20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м},\quad S_{\text{плитки}} = 0{,}2^2 = 0{,}04\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число спиц колеса

На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между любыми двумя соседними спицами в нём будет равен $18^\circ$?

1. 1
   Вокруг центра колеса образуется полный угол, равный $360^\circ$.$$360^\circ$$
2. 2
   Число равных углов между соседними спицами равно:$$360 : 18 = 20$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,1 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Поскольку перила имеют прямолинейный наклон, их высота в середине равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l=\frac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот.$$l=\frac{1{,}1+2{,}1}{2}=\frac{3{,}2}{2}=1{,}6$$

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 3,8 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб подпирает горку посередине, значит его высота в два раза меньше высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3{,}8}{2} = 1{,}9$$

Высота фонаря по тени

Человек, рост которого равен 2 м, стоит на расстоянии 3,5 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

1. 1
   Большой треугольник, образованный фонарём и тенью, подобен малому треугольнику, образованному человеком и его тенью.$$\dfrac{H}{2}=\dfrac{3{,}5+1}{1}$$
2. 2
   Выразим высоту фонаря:$$H=2\cdot\dfrac{4{,}5}{1}=9$$

Высота столба по тени

Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 4 м от столба, на котором висит фонарь. При этом длина тени человека равна 1 м. Определите высоту столба (в метрах).

1. 1
   Большой треугольник образован столбом и расстоянием от его основания до конца тени. Его основание равно $4+1=5$ м. Малый треугольник образован человеком и его тенью.$$5=4+1$$
2. 2
   Треугольники подобны, поэтому отношение их высот равно отношению оснований.$$\dfrac{H}{5}=\dfrac{1{,}8}{1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,7 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется линейно, поэтому в середине лестницы высота равна среднему арифметическому крайних высот.$$l=\dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот перил:$$l=\dfrac{1{,}7+2{,}7}{2}=\dfrac{4{,}4}{2}=2{,}2$$

Площадь оставшейся части участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 метров и 30 метров. Хозяин отгородил на участке квадратный вольер со стороной 15 метров (см. рисунок). Найдите площадь оставшейся части…

1. 1
   Найдём площадь всего участка прямоугольной формы.$$S_{\text{участка}} = 30 \cdot 25 = 750\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь квадратного вольера.$$S_{\text{вольера}} = 15^2 = 225\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 35 м и 70 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(35+70) = 210$$
2. 2
   Так как проезд шириной 4 м не ограждают забором, вычтем эту длину из периметра:$$210-4=206$$