Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Тангенс угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 15$, $AC = 3$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Относительно угла $B$ противолежащим катетом является $AC$, а прилежащим катетом — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные длины катетов:$$\tg B = \dfrac{3}{15} = 0{,}2$$

Средняя линия треугольника

Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 31, сторона $BC$ равна 42, сторона $AC$ равна 50. Найдите $MN$.

1. 1
   Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
2. 2
   Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{50}{2} = 25$$

Синус острого угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 9$, $AB = 25$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ расположена напротив угла $B$.
2. 2
   Используем определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Другой острый угол треугольника

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $26^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
2. 2
   Вычтем из $90^\circ$ известный острый угол:$$\beta = 90^\circ - 26^\circ = 64^\circ$$

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $168^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha_{\text{внешн.}} + 168^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим внешний угол:$$\alpha_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 168^\circ = 12^\circ$$

Косинус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 3$, $AB = 5$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, гипотенуза треугольника — сторона $AB$. Катет, прилежащий к углу $B$, — сторона $BC$.$$AB = 5,\quad BC = 3$$
2. 2
   Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0.6$$

Длина медианы в треугольнике

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 16$, $BM$ — медиана, $BM = 12$. Найдите $AM$.

1. 1
   Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = \dfrac{AC}{2}$$
2. 2
   Подставим известную длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{16}{2} = 8$$

Сторона прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{4}{11}$, $AB = 55$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ — гипотенуза. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину стороны $AC$.$$AC = AB \cdot \sin B = 55 \cdot \dfrac{4}{11} = 20$$

Косинус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 14$, $AB = 20$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$AB = 20,\quad BC = 14$$
2. 2
   Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Внешний угол треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $159^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$.

1. 1
   Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 159^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 159^\circ = 21^\circ$$

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 6$, $AB = 20$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим:$$\sin B = \dfrac{6}{20} = 0{,}3$$

Катет прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{11}{8}$, $BC = 24$. Найдите $AC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{11}{8} = \dfrac{AC}{24},\quad AC = 24 \cdot \dfrac{11}{8} = 33$$

Угол при высоте

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 64^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC$, она перпендикулярна стороне $AC$. Поэтому $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Точка $H$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 64^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус острого угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 11$, $AB = 20$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.$$AB = 20,\quad AC = 11$$
2. 2
   По определению синуса острого угла:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{11}{20} = 0{,}55$$

Синус угла в треугольнике

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{4}{9}$, $AB = 18$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащий катет — это $AC$.$$\sin B = \frac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\frac{4}{9} = \frac{AC}{18},\quad AC = 18 \cdot \frac{4}{9} = 8$$

Угол в треугольнике с медианой

В треугольнике проведена медиана. Найдите градусную меру угла, если и.

1. 1
   Используем свойство медианы и связь между углами треугольника, указанными в условии.
2. 2
   Подставляем данные из условия и вычисляем градусную меру искомого угла.$$\angle = 19^\circ$$

Угол треугольника и биссектриса

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$. Найдите градусную меру внешнего угла при вершине $A$, если $\angle ABD = 39^\circ$ и $\angle C = 63^\circ$.

1. 1
   Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, весь угол $B$ равен удвоенному углу $ABD$.$$\angle B=2\cdot39^\circ=78^\circ$$
2. 2
   Внешний угол при вершине $A$ равен сумме внутренних углов $B$ и $C$.$$\angle A_{\text{внешн.}}=78^\circ+63^\circ=141^\circ$$

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 3$, $AC = 18$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами.
2. 2
   Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а катет $BC$ — прилежащий. Поэтому$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $6\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Используем формулу радиуса вписанной окружности равностороннего треугольника.$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Выразим длину стороны треугольника.$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $11\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой$$R=\dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Выразим длину стороны через радиус и подставим значение радиуса:$$a=R\sqrt{3}=11\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=11\cdot 3=33$$