Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Треугольники» — с ответами

Другой острый угол

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $36^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике один угол равен $90^\circ$, поэтому сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
2. 2
   Найдём второй острый угол.$$\beta = 90^\circ - 36^\circ = 54^\circ$$

Сторона равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   Используем формулу высоты равностороннего треугольника.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим известное значение высоты и найдём сторону.$$13\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол при биссектрисе

В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 84^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
2. 2
   Подставим известное значение угла:$$\angle BAD = \frac{84^\circ}{2} = 42^\circ$$

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Катеты прямоугольного треугольника равны 20 и 21. Найдите гипотенузу этого треугольника.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.$$c^2 = 20^2 + 21^2$$
2. 2
   Вычислим сумму квадратов катетов:$$c^2 = 400 + 441 = 841$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сторона равностороннего треугольника

Медиана равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике медиана является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим значение медианы и найдём сторону:$$12\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $31^\circ$ и $94^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём третий угол, вычтя из суммы углов известные углы:$$\gamma = 180^\circ - 31^\circ - 94^\circ = 55^\circ$$

Синус угла прямоугольного треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 6$, $AB = 10$. Найдите $\sin B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Катет $AC$ лежит напротив угла $B$.
2. 2
   Используем определение синуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение катета треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{5}{9}$, $BC = 27$. Найдите $AC$.

1. 1
   В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{5}{9} = \dfrac{AC}{27},\quad AC = 27 \cdot \dfrac{5}{9} = 15$$

Угол при высоте треугольника

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 82^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный.$$\angle AHB = 90^\circ$$
2. 2
   Точка $H$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = 82^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина медианы треугольника

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 18$, $BM$ — медиана, $BM = 14$. Найдите $AM$.

1. 1
   Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
2. 2
   Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины стороны $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{18}{2} = 9$$

Угол в треугольнике

В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если известны две указанные в условии угловые величины.

1. 1
   Биссектриса делит соответствующий угол треугольника на два равных угла.
2. 2
   Используем сумму углов треугольника $180^\circ$ и данные условия. После подстановки получаем искомый угол.$$\angle = 135^\circ$$

Биссектриса равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой.$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны и упростим выражение:$$h=\dfrac{12\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{12\cdot3}{2}=18$$

Биссектриса равностороннего треугольника

Сторона равностороннего треугольника равна $14\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.

1. 1
   В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны и упростим выражение.$$h = \dfrac{14\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2} = \dfrac{14\cdot 3}{2} = 21$$

Другой катет треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 8 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 8^2 = 17^2$$
2. 2
   Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Третий угол треугольника

В треугольнике два угла равны $72^\circ$ и $42^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
2. 2
   Найдём третий угол.$$\gamma = 180^\circ - 72^\circ - 42^\circ = 66^\circ$$

Тангенс угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 20$. Найдите $\tg B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\tg B = \dfrac{20}{5} = 4$$

Угол треугольника и биссектриса

В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру указанного угла, если известны два угла, образованные биссектрисой и сторонами треугольника.

1. 1
   Биссектриса делит угол треугольника на два равных угла. По данным задачи восстанавливаем величину полного угла, разделённого биссектрисой.
2. 2
   Используем свойство суммы углов треугольника:$$\alpha+\beta+\gamma=180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Катет по синусу угла

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{7}{12}$, $AB = 48$. Найдите $AC$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$\sin B = \frac{AC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = AB \cdot \sin B = 48 \cdot \frac{7}{12} = 28$$

Косинус угла треугольника

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 14$, $AB = 50$. Найдите $\cos B$.

1. 1
   Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — сторона $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$\cos B = \dfrac{14}{50} = 0{,}28$$

Другой катет треугольника

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

1. 1
   Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 40^2 = 50^2$$
2. 2
   Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$$

Ещё 1 шаг — в полном решении