Два катета прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 86^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{86^\circ}{2} = 43^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 12$, $BM$ — медиана, $BM = 11$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
- 2
Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$$
Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите высоту этого треугольника.
- 1
Высота равностороннего треугольника выражается через его сторону формулой:$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение стороны и упростим выражение:$$h=\dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{10\cdot3}{2}=15$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{2}{5}$, $AB = 10$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $BC$.$$\dfrac{2}{5} = \dfrac{BC}{10},\quad BC = \dfrac{2 \cdot 10}{5} = 4$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $142^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 142^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 142^\circ = 38^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{6}$, $BC = 18$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = BC \cdot \tg B = 18 \cdot \dfrac{7}{6} = 21$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 21, сторона $BC$ равна 22, сторона $AC$ равна 28. Найдите $MN$.
- 1
Так как точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{28}{2} = 14$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{8}{5}$, $BC = 20$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике относительно угла $B$ катет $AC$ является противолежащим, а катет $BC$ — прилежащим.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{8}{5} = \dfrac{AC}{20},\quad AC = 20 \cdot \dfrac{8}{5} = 32$$
Катеты прямоугольного треугольника равны 16 и 30. Найдите гипотенузу этого треугольника.
- 1
Обозначим гипотенузу через $c$. По теореме Пифагора:$$c^2 = 16^2 + 30^2$$
- 2
Вычислим сумму квадратов катетов:$$c^2 = 256 + 900 = 1156$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 11. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим значения катетов.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 11 = 22$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{4}{7}$, $BC = 35$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения.$$\dfrac{4}{7} = \dfrac{AC}{35}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два катета прямоугольного треугольника равны 14 и 5. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади прямоугольного треугольника.$$S = \dfrac{ab}{2}$$
- 2
Подставим значения катетов и вычислим площадь:$$S = \dfrac{14 \cdot 5}{2} = 35$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 26, сторона $BC$ равна 39, сторона $AC$ равна 48. Найдите $MN$.
- 1
Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому $MN$ является средней линией.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{48}{2} = 24$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 16$, $AB = 40$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и сократим дробь.$$\sin B = \dfrac{16}{40} = 0{,}4$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру указанного угла, если даны значения двух углов треугольника.
- 1
По свойству биссектрисы соответствующий угол делится на две равные части.$$\angle_1=\angle_2$$
- 2
Используем, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, и подставляем данные условия.$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 20$, $BC = 7$, $\sin \angle ABC = \dfrac{2}{5}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 \cdot \dfrac{2}{5} = 28$$
Сторона треугольника равна 12, а высота, проведённая к этой стороне, равна 33. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади треугольника через сторону и высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим известные значения стороны и высоты.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 33 = 198$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 3$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, а прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные длины катетов:$$\tg B = \dfrac{3}{5} = 0.6$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 73^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Высота $BH$ перпендикулярна стороне $AC$, поэтому угол $AHB$ прямой.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Угол $BAH$ совпадает с углом $BAC$, поскольку точки $A$, $H$ и $C$ лежат на одной прямой.$$\angle BAH = \angle BAC = 73^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении