ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕНТ по математика: «Теңдеулерді шешу» — жауаптарымен

Решите уравнение: (x²-x-2)/((x+1)²) = 0

Решите уравнение: $\frac{x^2-x-2}{(x+1)^2} = 0$

1. 1
   Уравнение равно нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.$$x^2 - x - 2 = 0$$
2. 2
   Решим квадратное уравнение: найдём корни через дискриминант или разложение.$$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) = 0$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Теңдеудің түбірлерінің қосындысы неге тең: (5x-1)²+4(5x-1)-5 = 0

Теңдеудің түбірлерінің қосындысы неге тең: $ (5x-1)^2+4(5x-1)-5 = 0 $

1. 1
   Сделаем замену $ t = 5x - 1 $. Тогда уравнение становится $ t^2 + 4t - 5 = 0 $.$$t^2 + 4t - 5 = 0$$
2. 2
   Решим квадратное уравнение: дискриминант $ D = 16 + 20 = 36 $, корни: $ t = \frac{-4 \pm 6}{2} $, то есть $ t_1 = 1 $, $ t_2 = -5 $.$$t_1 = 1,\ t_2 = -5$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{3x} \cdot \left(\frac{1

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} \left(\frac{1}{3}\right)^{3x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \frac{1}{9} \\ \log_5 10x - \log_5 y = 1 \end{cases}$

1. 1
   Упростите первое уравнение, используя свойства степеней: $\left(\frac{1}{3}\right)^{3x} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{-y} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3x - y} = \frac{1}{9} = \left(\frac{1}{3}\right)^2$. Тогда $3x - y = 2$.$$3x - y = 2$$
2. 2
   Упростите второе уравнение, используя свойства логарифмов: $\log_5 10x - \log_5 y = \log_5 \left(\frac{10x}{y}\right) = 1$. Тогда $\frac{10x}{y} = 5^1 = 5$, откуда $10x = 5y$ или $y = 2x$.$$y = 2x$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Берілгені: x² + y² = 13 ; x · y = 6. Интервалды табыңыз

Берілгені: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13 \\ x \cdot y = 6 \end{cases} $. Теңдеулер жүйесінің барлық шешімдерін қамтитын интервалды табыңыз.

Решите уравнение: 2/3y - 1/3 = 5/9y

Решите уравнение: $\frac{2}{3}y - \frac{1}{3} = \frac{5}{9}y$

1. 1
   Перенесём все члены с $y$ в одну часть уравнения. Вычтем $ rac{5}{9}y$ из обеих сторон: $ rac{2}{3}y - rac{5}{9}y - rac{1}{3} = 0$$$\frac{2}{3}y - \frac{5}{9}y - \frac{1}{3} = 0$$
2. 2
   Приведём $\frac{2}{3}$ к знаменателю 9: $\frac{2}{3} = \frac{6}{9}$. Тогда $\frac{6}{9}y - \frac{5}{9}y = \frac{1}{9}y$. Получим: $\frac{1}{9}y - \frac{1}{3} = 0$$$\frac{1}{9}y - \frac{1}{3} = 0$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Выберите уравнение, которое является квадратным уравнением с одной переменной

Выберите уравнение, которое является квадратным уравнением с одной переменной

1. 1
   Квадратное уравнение с одной переменной должно иметь форму $ax^2 + bx + c = 0$, где $a\neq0$, и содержать только переменную $x$ в степени не выше 2.
2. 2
   Вариант A: $5x + 3x^2 = 8$ → переносим 8 влево: $3x^2 + 5x - 8 = 0$. Здесь $a=3\neq0$, степень $x$ — максимум 2, только одна переменная $x$. Это квадратное уравнение.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Решите уравнение (10x²-9x-1)/(x-1) = 0

Решите уравнение $\frac{10x^2-9x-1}{x-1} = 0$

1. 1
   Нулевой дробный expression равен нулю только если числитель равен нулю и знаменатель не равен нулю.$$10x^2 - 9x - 1 = 0$$
2. 2
   Решаем квадратное уравнение $10x^2 - 9x - 1 = 0$ через дискриминант: $D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-1) = 81 + 40 = 121$.$$x = \frac{9 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 10} = \frac{9 \pm 11}{20}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Решите систему уравнений: 3x-8y = -43 4x+y = -34.

Решите систему уравнений: $\begin{cases} 3x-8y = -43 \ 4x+y = -34. \end{cases}$

1. 1
   Из второго уравнения выразить $y = -34 - 4x$ и подставить в первое.
2. 2
   Получим: $3x - 8(-34 - 4x) = -43$ → $3x + 272 + 32x = -43$ → $35x = -315$ → $x = -9$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: 3x + 4y = 16 ; 3y + 4x = 26

Теңдеулер жүйесін шешіңіз: $ \begin{cases} 3x + 4y = 16 \\ 3y + 4x = 26 \end{cases} $

1. 1
   Поменяем местами переменные во втором уравнении для удобства: перепишем как $4x + 3y = 26$.
2. 2
   Теперь система выглядит так: $\begin{cases} 3x + 4y = 16 \\ 4x + 3y = 26 \end{cases}$. Сложим оба уравнения: $(3x+4x) + (4y+3y) = 16+26 \Rightarrow 7x + 7y = 42 \Rightarrow x + y = 6$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Найдите (x-y), если пара чисел (x;y) является решением системы уравнений: $\begin{case

Найдите $(x-y)$, если пара чисел $(x;y)$ является решением системы уравнений: $\begin{cases} x^2y = 25 \ xy^2 = 5 \end{cases}$

1. 1
   Предположим, что $x$ и $y$ не равны нулю, разделим первое уравнение на второе: $\frac{x^2y}{xy^2} = \frac{25}{5} \Rightarrow \frac{x}{y} = 5$, значит $x = 5y$.$$\frac{x^2y}{xy^2} = \frac{25}{5} \Rightarrow \frac{x}{y} = 5$$
2. 2
   Подставляем $x = 5y$ в первое уравнение: $(5y)^2 \cdot y = 25 \Rightarrow 25y^2 \cdot y = 25 \Rightarrow 25y^3 = 25 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$.$$(5y)^2 \cdot y = 25 \Rightarrow 25y^3 = 25 \Rightarrow y^3 = 1 \Rightarrow y = 1$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Найдите число A, если A = x · y, где (x; y) является решением системы уравнений $\

Найдите число A, если $A = x \cdot y$, где $(x; y)$ является решением системы уравнений $\begin{cases} x^2y = 9, \ xy^2 = 3 \end{cases}$

1. 1
   Умножим оба уравнения системы: (x²y)(xy²) = 9·3 → x³y³ = 27.
2. 2
   Заметим, что x³y³ = (xy)³, поэтому (xy)³ = 27.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Берілгені: 3x+2y-2=11 ; 2y+5x=19. x+y мәнін тап, егер $(x

Берілгені: $\begin{cases} 3x+2y-2=11 \\ 2y+5x=19 \end{cases}$. $x+y$ мәнін тап, егер $(x, y)$ теңдеулер жүйесінің шешімі болса.

1. 1
   Сложим оба уравнения системы, чтобы избавиться от переменной $y$.$$3x+2y-2+2y+5x=11+19$$
2. 2
   Объединим подобные члены: слева $8x+4y-2$, справа $30$.$$8x+4y-2=30$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Решите уравнение: y' = 2x + 1

Решите уравнение: $y' = 2x + 1$

1. 1
   Проинтегрируем обе части уравнения по x: ∫ y' dx = ∫ (2x + 1) dx$$\int y'\,dx = \int (2x+1)\,dx$$
2. 2
   Левая часть — неопределённый интеграл от производной функции y — это сама функция y с учётом произвольной постоянной: y + C₁$$y + C_1$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Теңдеуді шешіңіз: sin 2x · cos 2x = -1/2

Теңдеуді шешіңіз: $\sin 2x \cdot \cos 2x = -\frac{1}{2}$

1. 1
   Применим формулу двойного угла: $\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x$.
2. 2
   Тогда уравнение становится: $\frac{1}{2} \sin 4x = -\frac{1}{2}$ → $\sin 4x = -1$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Теңдеуді шешіңіз: sin² 3x + 3 cos 3x = 3

Теңдеуді шешіңіз: $\sin^2 3x + 3 \cos 3x = 3$

1. 1
   Заменим $\sin^2 3x$ на $1-\cos^2 3x$$$\sin^2 3x = 1 - \cos^2 3x$$
2. 2
   Подставим в исходное уравнение и перенесём все члены влево$$1 - \cos^2 3x + 3\cos 3x = 3$$

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Теңдеуді шешіңіз: arcsin x = cos π/3

Теңдеуді шешіңіз: $\arcsin x = \cos \frac{\pi}{3}$

1. 1
   Вычислим значение косинуса: $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$
2. 2
   Тогда уравнение становится: $\arcsin x = \frac{1}{2}$$$\arcsin x = \frac{1}{2}$$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

sin²x - 17sin x + 16 = 0 теңдеуін шешіңіз және оның x ∈ [-π/2;π/2] аралығындағы түбірлерін табыңыз.

$\sin^2x - 17\sin x + 16 = 0$ теңдеуін шешіңіз және оның $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ аралығындағы түбірлерін табыңыз.

1. 1
   Обозначим $\sin x = t$. Тогда уравнение примет вид $t^2 - 17t + 16 = 0$.$$t^2 - 17t + 16 = 0$$
2. 2
   Решим квадратное уравнение: дискриминант $D = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$. Корни: $t = \frac{17 \pm 15}{2}$ → $t_1 = 16$, $t_2 = 1$.$$t = \frac{17 \pm 15}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Решите уравнение: log₂(x + 1) + log₂(x + 2) = 1

Решите уравнение: $\log_2(x + 1) + \log_2(x + 2) = 1$

1. 1
   Сведём сумму логарифмов к произведению: $\log_2((x+1)(x+2)) = 1$$$\log_2((x+1)(x+2)) = 1$$
2. 2
   Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: $(x+1)(x+2) = 2^1 = 2$$$(x+1)(x+2) = 2$$

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Теңдеуді шешіңіз: cos² 9x + sin² 7x + cos² 5x + sin² 3x = 2

Теңдеуді шешіңіз: $\cos^2 9x + \sin^2 7x + \cos^2 5x + \sin^2 3x = 2$

1. 1
   Применим тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\beta = 1 - \frac{\cos 2\alpha - \cos 2\beta}{2}$ или перегруппируем: $\cos^2 9x - \sin^2 3x + \sin^2 7x + \cos^2 5x = 2$. Используем $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$…
2. 2
   Проверяем варианты: A и D идентичны: оба дают $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ и $\frac{\pi k}{12}$. B имеет неправильный первый член ($\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$), C имеет неправильный второй член ($\frac{\pi k}{2}$ вместо…

Теңдеуді шешіңіз: 4^(log₈(2x-2)) · 2^(log₂ ∛(2x-2)) = 2√2

Теңдеуді шешіңіз: $4^{\log_8(2x-2)} \cdot 2^{\log_2 \sqrt[3]{2x-2}} = 2\sqrt{2}$