10
Решение: Решите уравнение: sin² 3x + 3 cos 3x = 3
ЕНТ · Математика · Задание 10 · Решение уравнений
ПовышеннаяЕНТ2025mathematics10Выбор варианта≈ 2 минутыРазбор в 6 шаговОтвет сверен с ключом
Решение по шагам
6 шагов1
Заменим $\sin^2 3x$ на $1-\cos^2 3x$
$$\sin^2 3x = 1 - \cos^2 3x$$2
Подставим в исходное уравнение и перенесём все члены влево
$$1 - \cos^2 3x + 3\cos 3x = 3$$3
Приведём к квадратному уравнению относительно $\cos 3x$
$$-\cos^2 3x + 3\cos 3x - 2 = 0$$4
Разложим многочлен: $(\cos 3x - 1)(\cos 3x - 2)=0$
$$(\cos 3x - 1)(\cos 3x - 2) = 0$$5
Поскольку $\cos 3x\le1$, допустимо только $\cos 3x = 1$. Отсюда $3x = 2\pi k$, $k\in\mathbb{Z}$
$$\cos 3x = 1$$Наконец, $x = \dfrac{2\pi k}{3}$, $k\in\mathbb{Z}$
$$x = \frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb{Z}$$Ответ
A
A
так ответ выглядит в бланкеГде здесь ошибаются
Принять корень $\cos 3x = 2$ как допустимый и включить его в ответ
Ошибочно решить квадрат уравнения и получить $\cos 3x = -1$, что приводит к варианту D
Считать, что решение $3x = \pi n$ (вариант B) удовлетворяет исходному уравнению