Задание 9 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Точка максимума логарифмической функции

Найдите точку максимума функции $y = \ln(x - 7) - 2x - 3$.

1. 1
   Область определения функции: $x > 7$.
2. 2
   Найдём производную функции:$$y' = \dfrac{1}{x - 7} - 2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Точки максимума функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-12;11)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-11;5]$.

1. 1
   В точках максимума функции $f(x)$ её производная меняет знак с положительного на отрицательный.$$f'(x):\ +\to-$$
2. 2
   По графику $f'(x)$ на отрезке $[-11;5]$ такой переход происходит два раза.

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой. Найдите значение производной функции в этой точке.

1. 1
   Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Для нахождения углового коэффициента нужны координаты как минимум двух точек касательной, однако график и числовые данные на предоставленном изображении отсутствуют.$$k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции $y = x^{\frac{3}{2}} - 3x + 9$.

1. 1
   Область определения функции: $x \geq 0$. Найдём производную.$$y' = \frac{3}{2}\sqrt{x} - 3$$
2. 2
   Приравняем производную к нулю и решим уравнение.$$\frac{3}{2}\sqrt{x} - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{x} = 2 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   На предоставленном изображении есть только текст условия; график функции и касательная отсутствуют. Поэтому координаты точек касательной и её угловой коэффициент определить нельзя.

Минимум функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции $y = 9x - \ln (x+5)^9$ на отрезке $[-4{,}5; 0]$.

1. 1
   Преобразуем логарифмическое выражение и найдём производную:$$y = 9x - 9\ln(x+5),\quad y' = 9 - \frac{9}{x+5}$$
2. 2
   Найдём критическую точку:$$9 - \frac{9}{x+5}=0 \Rightarrow x+5=1 \Rightarrow x=-4$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее значение функции

Найдите наибольшее значение функции $y=\ln\bigl((x+9)^5\bigr)-5x$ на отрезке $[-8{,}5;0]$.

1. 1
   Преобразуем функцию, используя свойство логарифма:$$\ln\bigl((x+9)^5\bigr)=5\ln(x+9)$$
2. 2
   Найдём производную функции:$$y'=\frac{5}{x+9}-5=\frac{-5(x+8)}{x+9}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Наибольшее значение функции

Найдите наибольшее значение функции на отрезке.

1. 1
   Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо знать формулу функции и границы отрезка.
2. 2
   В распознанном тексте и на изображении эти данные не отображаются, поэтому критические точки и значения на концах отрезка определить нельзя.

Наименьшее значение функции

Найдите наименьшее значение функции на отрезке.

1. 1
   Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке необходимо знать формулу функции и сам отрезок.
2. 2
   В условии, распознанном с изображения, эти данные отсутствуют: после слов «функции» и «на отрезке» формулы не отображаются.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Минимум функции на отрезке

Найдите наименьшее значение функции $y = 12\cos x + \dfrac{45x}{\pi} - 4$ на отрезке $\left[-\dfrac{2\pi}{3}; 0\right]$.

1. 1
   Найдём производную функции:$$y' = -12\sin x + \dfrac{45}{\pi}$$
2. 2
   На отрезке $\left[-\dfrac{2\pi}{3}; 0\right]$ выполняется $\sin x \leq 0$, поэтому $-12\sin x \geq 0$. Следовательно, $y' > 0$, и функция возрастает на всём отрезке.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Наименьшее значение производной

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечены точки $-2$, $-1$, $3$, $4$. В какой из этих точек значение производной функции $f(x)$ наименьшее?

1. 1
   Значение производной в точке определяется угловым коэффициентом касательной к графику функции.$$f'(x)=k$$
2. 2
   Сравниваем наклоны графика в точках $-2$, $-1$, $3$ и $4$. Наиболее отрицательный наклон наблюдается в точке $x=4$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   По графику касательная проходит через точки $(0;1)$ и $(1;0)$.$$k=\dfrac{0-1}{1-0}=-1$$

Распад радиоактивного изотопа

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ (в мг) уменьшается по закону $m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\tau}{T}}$, где $m_0$ — начальная масса изотопа (в мг), $\tau$ — время (в минутах)…

1. 1
   Подставим в закон распада значения начальной и конечной массы, а также периода полураспада.$$49 = 196 \cdot 2^{-\frac{\tau}{4}}$$
2. 2
   Разделим обе части уравнения на $196$ и представим полученную дробь как степень двойки.$$\frac{49}{196} = 2^{-\frac{\tau}{4}};\quad \frac{1}{4} = 2^{-2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции. Формула функции в исходных данных отсутствует.

1. 1
   Формула функции отсутствует в распознанном тексте и на предоставленном скриншоте.
2. 2
   Без формулы невозможно найти производную, критические точки и точку минимума.

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Производная функции в точке $x_0$ равна угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   По графику видно, что при увеличении абсциссы на $1$ ордината касательной уменьшается на $4$ единицы.$$k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{-4}{1}=-4$$

Точка максимума функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-5;5)$. Найдите точку максимума функции $f(x)$.

1. 1
   Функция $f(x)$ возрастает там, где $f'(x)>0$, и убывает там, где $f'(x)<0$.
2. 2
   Точка максимума соответствует смене знака производной с положительного на отрицательный.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Производная по касательной

На рисунке изображены график функции $y=f(x)$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

1. 1
   Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной.$$f'(x_0)=k$$
2. 2
   Возьмём на касательной точки $(-4;0)$ и $(-1;5)$ и найдём её угловой коэффициент.$$k=\dfrac{5-0}{-1-(-4)}=\dfrac{5}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Точка минимума функции

Найдите точку минимума функции.

1. 1
   В распознанном условии и на скриншоте отсутствует формула функции, поэтому вычислить её производную и определить точку минимума невозможно.

Точки максимума функции

На рисунке изображён график $y=f'(x)$ — производной функции $f(x)$, определённой на интервале $(-9;10)$. Найдите количество точек максимума функции $f(x)$, принадлежащих отрезку $[-6;8]$.

1. 1
   Функция $f(x)$ возрастает там, где $f'(x)>0$, и убывает там, где $f'(x)<0$.
2. 2
   Точки максимума находятся в местах смены знака производной с плюса на минус.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Знак производной по графику

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$. На оси абсцисс отмечено десять точек: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$, $x_6$, $x_7$, $x_8$, $x_9$, $x_{10}$. Найдите количество отмеченных точек, в…

1. 1
   Производная функции отрицательна в тех точках, где функция убывает.$$f'(x_i)<0$$
2. 2
   Для получения численного ответа необходимо определить по графику, в каких из десяти отмеченных точек функция убывает. График в предоставленном изображении отсутствует, поэтому количество таких точек установить нельзя.