ЕГЭОГЭЕНТ
РУҚА
ЕГЭ · математика, профиль · номер 14 · решения с ответами

Задание 14 ЕГЭ по профильной математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Все задачи задания 14 из открытого банка ФИПИ с готовым ответом и началом разбора. Полное решение по шагам и официальный ключ — по ссылкам в карточке.

Задания без решений
66
решений с ответами
2
тем в номере
4
страниц списка
61ФИПИ E4EA28№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение с тангенсом

а) Решите уравнение $\sqrt{3}\tg^2 x - 4\tg x + \sqrt{3} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Выполним замену $t = \tg x$. Получим квадратное уравнение:$$\sqrt{3}t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0$$
  2. 2
    Найдём дискриминант:$$D = (-4)^2 - 4\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 16 - 12 = 4$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому5 шагов в разборе
62ФИПИ EE74FD№ 14ПовышеннаяАлгебраические уравнения

Показательное уравнение и отрезок

Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_5 2;\, \log_5 20]$.

  1. 1
    Представим все степени через основание $2$: $8^x = 2^{3x}$, а $2^{5-x} = \dfrac{32}{2^x}$.
  2. 2
    Введём замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, имеем $t > 0$. Уравнение принимает вид$$t^3 - 18t + \frac{32}{t} = 0$$

Ещё 5 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому7 шагов в разборе
63ФИПИ F22045№ 14ВысокаяАлгебраические уравнения

Показательное уравнение и отрезок

а) Решите уравнение $8^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 2^{5-x} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_4 5;\sqrt{3}]$.

  1. 1
    Выполним замену $t = 2^x$, тогда $t > 0$. Имеем $8^x = 2^{3x} = t^3$, $2^{x+2} = 4t$, а $2^{5-x} = \dfrac{32}{t}$.$$t^3 - 12t + \frac{32}{t} = 0$$
  2. 2
    Умножим уравнение на $t > 0$ и сгруппируем слагаемые.$$t^4 - 12t^2 + 32 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому5 шагов в разборе
64ФИПИ F438D2№ 14ВысокаяАлгебраические уравнения

Тригонометрическое уравнение со степенями

а) Решите уравнение $16^{\cos x} + 16^{\cos(\pi - x)} = \dfrac{17}{4}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Преобразуем косинус второго показателя:$$\cos(\pi-x)=-\cos x$$
  2. 2
    Тогда исходное уравнение принимает вид:$$16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\frac{17}{4}$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому8 шагов в разборе
65ФИПИ F98Be9№ 14ПовышеннаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение на отрезке

Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi; -\dfrac{9\pi}{2}\right]$.

  1. 1
    Преобразуем косинус и раскроем синус разности:$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x$$
  2. 2
    Подставим эти выражения в исходное уравнение и упростим:$$2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$$

Ещё 6 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому8 шагов в разборе
66ФИПИ FDA042№ 14ВысокаяТригонометрия

Тригонометрическое уравнение с корнем

а) Решите уравнение $\dfrac{9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$.

  1. 1
    Для существования выражения необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным:$$11\sin x>0\quad\Longrightarrow\quad \sin x>0$$
  2. 2
    При выполнении этого условия знаменатель не равен нулю, поэтому числитель должен быть равен нулю:$$9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}=0$$

Ещё 7 шагов — в полном решении

Решение полностьюОтветРешать самому9 шагов в разборе

Те же задачи без решений, с фильтрами по сложности и типу ответа, — список заданий. Другой предмет — в каталоге.