Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 15, 18 и 24. Найдите площадь…
- 1
Пусть ширины двух столбцов равны $a$ и $b$, а высоты двух строк — $c$ и $d$. Тогда площади четырёх прямоугольников равны $ac$, $bc$, $bd$ и $ad$.
- 2
Произведение площадей прямоугольников, расположенных по диагонали, одинаково:$$ac\cdot bd=bc\cdot ad$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: за 7 золотых монет получить 17 серебряных и одну медную; за 8 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную. У Николая были только…
- 1
Пусть $x$ — количество операций первого вида, а $y$ — количество операций второго вида. Каждая операция добавляет одну медную монету, поэтому $x+y=78$.$$x+y=78$$
- 2
Золотых монет изначально и в конце нет. Поэтому количество золотых монет, потраченных в операциях первого вида, равно количеству полученных в операциях второго вида.$$7x=3y$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сергей Петрович хочет купить в интернет-магазине микроволновую печь определённой модели. В таблице показано 6 предложений от разных интернет-магазинов. Сергей Петрович считает, что покупку нужно…
- 1
Рейтинг не ниже 4 имеют магазины 1, 2, 3 и 5.
- 2
Вычислим стоимость покупки с учётом доставки для каждого из них.$$11070+350=11420;\quad 12200+450=12650;\quad 12020+400=12420;\quad 11990+300=12290$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 7 недель?
- 1
Определим количество листов, которое расходуется за 7 недель.$$800 \cdot 7 = 5600$$
- 2
Разделим общий расход на количество листов в одной пачке.$$\frac{5600}{500} = 11{,}2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В таблице приведены данные о шести чемоданах. По правилам авиакомпании сумма трёх измерений (длина, высота, ширина) чемодана, сдаваемого в багаж, не должна превышать 203 см, а масса не должна быть…
- 1
Проверим чемодан 1: сумма измерений равна $65+40+25=130$ см, масса равна $19$ кг. Оба условия выполнены.
- 2
Для чемодана 2 сумма измерений равна $84+72+49=205$ см, а масса равна $24$ кг. Чемодан не подходит.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Стороны параллелограмма равны 8 и 16. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна 12. Найдите длину высоты, проведённой к большей стороне параллелограмма.
- 1
Найдём площадь параллелограмма по меньшей стороне и высоте, проведённой к ней.$$S = 8 \cdot 12 = 96$$
- 2
Та же площадь выражается через большую сторону и искомую высоту.$$S = 16h$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 9$, $BC = 12$. Найдите радиус окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой по теореме Фалеса.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
По теореме Пифагора найдём диаметр окружности:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{225} = 15$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 10$, $BC = 24$. Найдите радиус окружности.
- 1
Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
- 2
По теореме Пифагора найдём диаметр $AB$:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{676} = 26$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Ящик, имеющий форму куба с ребром 40 см без одной грани, нужно покрасить снаружи со всех сторон. Найдите площадь поверхности, которую необходимо покрасить. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
- 1
У куба алты граней. Так как одна грань отсутствует, покрасить нужно пять граней.$$6 - 1 = 5$$
- 2
Площадь одной грани куба с ребром 40 см:$$S_1 = 40^2 = 1600\ \text{см}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В пачке 500 листов бумаги формата А4. За неделю в офисе расходуется 800 листов. Какого наименьшего количества пачек бумаги хватит на 7 недель?
- 1
Найдём количество листов, расходуемых за 7 недель.$$800 \cdot 7 = 5600$$
- 2
Разделим общий расход на количество листов в одной пачке и округлим вверх, поскольку пачки покупают целиком.$$\left\lceil \frac{5600}{500} \right\rceil = \lceil 11{,}2 \rceil = 12$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 17$, $AC = 16$. Найдите длину медианы $BM$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $BM$ делит основание $AC$ пополам, поэтому $AM = MC = 8$.$$AM = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
- 2
Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой. По теореме Пифагора для треугольника $ABM$:$$BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$$
В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ угол $BAD$ прямой, $AB = 12$, $BC = CD = 15$ (см. рисунок). Найдите среднюю линию трапеции.
- 1
Опустим из точки $C$ перпендикуляр на основание $AD$. Получившийся прямоугольный треугольник имеет гипотенузу $CD = 15$ и вертикальный катет, равный высоте трапеции $AB = 12$.$$x = \sqrt{CD^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$$
- 2
Нижнее основание состоит из верхнего основания и найденной горизонтальной проекции боковой стороны.$$AD = BC + x = 15 + 9 = 24$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Каждый день во время конференции расходуется 80 пакетиков чая. Конференция длится 4 дня. В пачке чая 100 пакетиков. Какого наименьшего количества пачек чая хватит на все дни конференции?
- 1
Вычислим, сколько пакетиков чая потребуется за 4 дня.$$80 \cdot 4 = 320$$
- 2
Разделим общее количество пакетиков на количество пакетиков в одной пачке. Так как пачки нельзя купить частично, результат округляем вверх.$$\left\lceil \dfrac{320}{100} \right\rceil = \lceil 3{,}2 \rceil = 4$$
Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 75 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, если предусмотрен проезд шириной 4 м.
- 1
Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(30+75) = 210$$
- 2
Проезд не требует установки забора, поэтому вычтем его ширину:$$210-4=206$$
Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 3,4 м. Ответ дайте в метрах.
- 1
Столб установлен посередине наклонной части горки, поэтому соответствующий ему малый треугольник подобен большому с коэффициентом подобия $\dfrac{1}{2}$.$$l = \dfrac{h}{2}$$
- 2
Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3{,}4}{2} = 1{,}7$$
Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 25 м и 70 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, если предусмотрен проезд шириной 4 м.
- 1
Найдём периметр прямоугольного участка.$$P = 2(25+70) = 190\ \text{м}$$
- 2
Проезд шириной 4 м не требует установки забора, поэтому вычтем его ширину из периметра.$$190-4=186\ \text{м}$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 18$, $\angle ABC = 120^\circ$, $BK$ — биссектриса. Найдите длину отрезка $BK$.
- 1
Так как $BK$ — биссектриса угла $ABC$, то $\angle ABK = \dfrac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.$$\angle ABK = 60^\circ$$
- 2
В равнобедренном треугольнике $ABC$ биссектриса, проведённая к основанию $AC$, является также высотой. Поэтому треугольник $ABK$ прямоугольный, а $AB = 18$ — его гипотенуза.$$BK = AB \cdot \cos 60^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Основания трапеции равны 7 и 15, боковая сторона, равная 12, образует с одним из оснований трапеции угол $150^\circ$. Найдите площадь трапеции.
- 1
Высота трапеции является перпендикулярной составляющей боковой стороны.$$h = 12\sin 150^\circ$$
- 2
Вычислим высоту трапеции.$$h = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите значение выражения $52{,}29 : \left(8\dfrac{41}{70} - \dfrac{2}{7}\right)$.
- 1
Приведём дробь $\dfrac{2}{7}$ к знаменателю $70$ и вычислим значение в скобках.$$8\dfrac{41}{70} - \dfrac{2}{7} = 8\dfrac{41}{70} - \dfrac{20}{70} = 8\dfrac{21}{70} = 8{,}3$$
- 2
Разделим $52{,}29$ на $8{,}3$.$$52{,}29 : 8{,}3 = 6{,}3$$
Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 2,8 м и 5 м?
- 1
Найдём площадь стены:$$S_\text{стены} = 2{,}8 \cdot 5 = 14\ \text{м}^2$$
- 2
Переведём сторону плитки в метры и найдём её площадь:$$20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м},\quad S_\text{плитки} = 0{,}2^2 = 0{,}04\ \text{м}^2$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде