ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Стереометрия» — жауаптарымен

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 64. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:3, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса…

1. 1
   Точка делит высоту от вершины в отношении $1:3$, поэтому высота отсечённого конуса составляет четверть высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}$$
2. 2
   Отсечённый конус подобен исходному. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.$$\frac{V_1}{V}=k^3=\left(\frac{1}{4}\right)^3=\frac{1}{64}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объёмы двух конусов

Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно 8 и 7, а второго — 4 и 7. Во сколько раз объём первого конуса больше объёма второго конуса?

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
2. 2
   Составим отношение объёмов двух конусов:$$\dfrac{V_1}{V_2} = \dfrac{\frac{1}{3}\pi r_1^2h_1}{\frac{1}{3}\pi r_2^2h_2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности параллелепипеда

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $S = 2(ab + ac + bc)$. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда с рёбрами 2, 7 и…

1. 1
   Подставим значения рёбер в формулу площади поверхности:$$S = 2(2 \cdot 7 + 2 \cdot 10 + 7 \cdot 10)$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$S = 2(14 + 20 + 70) = 2 \cdot 104 = 208$$

Объём прямой призмы

В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 5, а гипотенуза равна $\sqrt{74}$. Найдите объём призмы, если её высота равна 2.

1. 1
   По теореме Пифагора найдём второй катет основания:$$b=\sqrt{(\sqrt{74})^2-5^2}=\sqrt{74-25}=7$$
2. 2
   Площадь прямоугольного треугольника в основании призмы:$$S_{\text{осн}}=\frac{1}{2}\cdot5\cdot7=\frac{35}{2}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности шара

Даны два шара с радиусами 4 и 1. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\dfrac{S_{\text{больш}}}{S_{\text{меньш}}} = \left(\dfrac{4}{1}\right)^2 = 16$$

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $2$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $2$. Его площадь:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{2^2\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=12$$

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 6 и 8, а второго — 4 и 8. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Составим отношение площади первого конуса к площади второго:$$\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{\pi \cdot 6 \cdot 8}{\pi \cdot 4 \cdot 8}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна 5, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной 5.$$S_{\text{осн}} = \dfrac{5^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{25\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту.$$V = S_{\text{осн}}h = \dfrac{25\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{75}{4} = 18{,}75$$

Объём отсечённого конуса

Объём конуса равен 24. Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

1. 1
   Плоскость параллельна основанию, поэтому отсечённый конус подобен исходному. Его высота в 2 раза меньше высоты исходного конуса.$$k=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Объёмы подобных тел относятся как кубы коэффициента подобия.$$V_1=V\cdot k^3=24\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=3$$

Объёмы двух шаров

Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколько раз объём большего шара больше объёма меньшего?

1. 1
   Объём шара пропорционален кубу его радиуса.$$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$$
2. 2
   Найдём отношение объёма большего шара к объёму меньшего.$$\dfrac{V_{\text{большего}}}{V_{\text{меньшего}}} = \left(\dfrac{8}{2}\right)^3 = 4^3 = 64$$

Радиус основания конуса

Объём конуса равен $50\pi$, а его высота равна $6$. Найдите радиус основания конуса.

1. 1
   Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h$$
2. 2
   Подставим известные значения объёма и высоты:$$50\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2 \cdot 6 = 2\pi r^2$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь поверхности параллелепипеда

Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 10 и 8, а объём параллелепипеда равен 640. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.

1. 1
   Обозначим третье ребро через $c$. По формуле объёма:$$c = \frac{640}{10 \cdot 8} = 8$$
2. 2
   Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна удвоенной сумме площадей трёх различных граней.$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 9 и 4. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 48.

1. 1
   Найдём площадь основания пирамиды — прямоугольника со сторонами 9 и 4.$$S_{\text{осн}}=9\cdot4=36$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и выразим высоту.$$V=\frac{1}{3}S_{\text{осн}}h,\qquad h=\frac{3V}{S_{\text{осн}}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём треугольной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ равна $3$, а высота этой призмы равна $\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABCA_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $3$. Его площадь равна$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot\sqrt{3}=\frac{27}{4}$$

Высота четырёхугольной пирамиды

Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник со сторонами 5 и 12. Найдите высоту этой пирамиды, если её объём равен 100.

1. 1
   Вычислим площадь прямоугольного основания:$$S_{\text{осн}} = 5 \cdot 12 = 60$$
2. 2
   Используем формулу объёма пирамиды и найдём её высоту:$$100 = \dfrac{1}{3} \cdot 60 \cdot h$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём правильной призмы

Сторона основания правильной треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ равна $5$, а высота этой призмы равна $4\sqrt{3}$. Найдите объём призмы $ABC A_1B_1C_1$.

1. 1
   Основание призмы — равносторонний треугольник со стороной $5$. Его площадь равна:$$S_{\text{осн}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$
2. 2
   Объём призмы равен произведению площади основания на высоту:$$V=S_{\text{осн}}h=\frac{25\sqrt{3}}{4}\cdot4\sqrt{3}=25\cdot3=75$$

Площадь боковой поверхности конуса

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 6, а второго — 2 и 3. Во сколько раз площадь боковой поверхности первого конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   Найдём отношение площади боковой поверхности первого конуса к площади боковой поверхности второго:$$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\pi \cdot 4 \cdot 6}{\pi \cdot 2 \cdot 3} = \frac{24}{6} = 4$$

Площади поверхностей шаров

Даны два шара с радиусами 8 и 2. Во сколько раз площадь поверхности большего шара больше площади поверхности меньшего?

1. 1
   Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Найдём отношение площади большего шара к площади меньшего:$$\frac{S_{б}}{S_{м}} = \frac{4\pi \cdot 8^2}{4\pi \cdot 2^2} = \left(\frac{8}{2}\right)^2 = 16$$

Площадь осевого сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра равен 5, а его образующая равна 15. Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от неё на расстояние, равное 4. Найдите площадь этого сечения.

1. 1
   Сечение плоскостью, параллельной оси цилиндра, является прямоугольником. Его высота равна образующей цилиндра: $h=15$.
2. 2
   Ширина прямоугольника — хорда основания цилиндра. Расстояние от центра основания до хорды равно $4$, а радиус окружности равен $5$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Площади боковых поверхностей конусов

Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно 4 и 5, а второго — 4 и 5. Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой…

1. 1
   Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:$$S_{\text{бок}} = \pi r l$$
2. 2
   У обоих конусов радиус основания равен $4$, а образующая равна $5$, поэтому площади их боковых поверхностей одинаковы:$$S_1 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi,\quad S_2 = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде