Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу.$$6 = \dfrac{20 + 21 - c}{2}$$
2. 2
   Умножим обе части уравнения на 2 и выразим гипотенузу.$$12 = 41 - c, \quad c = 41 - 12 = 29$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 8…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \frac{8+15+17}{2} = 20$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)} = \sqrt{20 \cdot 12 \cdot 5 \cdot 3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Вычислим сумму и произведение сторон $a$ и $b$:$$a+b=2+18=20,\quad ab=2\cdot18=36$$
2. 2
   Найдём выражение под корнем:$$(a+b)^2-c^2=20^2-(10\sqrt{3})^2=400-300=100$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 12…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{12+17+25}{2} = 27$$
2. 2
   Подставим стороны и полупериметр в формулу Герона:$$S = \sqrt{27(27-12)(27-17)(27-25)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Применение теоремы синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против этих сторон…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим сторону $a$.$$a = b \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$a = 6 \cdot \frac{1/12}{1/8} = 6 \cdot \frac{8}{12} = 4$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу теоремы косинусов.$$\cos \gamma = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos \gamma = \dfrac{25 + 36 - 49}{60} = \dfrac{12}{60}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим $\sin \alpha$.$$\sin \alpha = \dfrac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin \alpha = \dfrac{4\cdot\frac{3}{8}}{5} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a$, $c$, $S$ и $r$:$$44\sqrt{3} = \dfrac{(11+b+14) \cdot 2\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Упростим выражение в правой части:$$44\sqrt{3} = (25+b)\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\bigl((a+b)^2-c^2\bigr)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Вычислим сумму сторон $a$ и $b$ и квадрат стороны $c$:$$a+b=5+20=25, \quad c^2=(10\sqrt{6})^2=600$$
2. 2
   Подставим значения в формулу:$$l_c=\frac{1}{25}\sqrt{5\cdot20\left(25^2-600\right)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим значения $a = 4$, $b = \sqrt{10}$ и $c = 6$ в формулу.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot (\sqrt{10})^2 - 6^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем.$$2 \cdot 4^2 + 2 \cdot (\sqrt{10})^2 - 6^2 = 32 + 20 - 36 = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла по теореме синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin \alpha = \dfrac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{9\cdot\frac{1}{9}}{2} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 16…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{16+25+39}{2} = 40$$
2. 2
   Подставим стороны и полупериметр в формулу Герона:$$S = \sqrt{40(40-16)(40-25)(40-39)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 9…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{9+12+15}{2} = 18$$
2. 2
   Подставим значения в формулу Герона:$$S = \sqrt{18(18-9)(18-12)(18-15)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим значения сторон и синуса угла в формулу:$$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 \cdot \frac{1}{5}$$
2. 2
   Сократим и вычислим выражение:$$S = 8 \cdot 3 = 24$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a = 17$…

1. 1
   Подставим данные значения в формулу:$$r = \dfrac{17+144-145}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2:$$r = \dfrac{16}{2} = 8$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Вычислим сумму и произведение данных сторон:$$a+b=4+16=20,\qquad ab=4\cdot16=64$$
2. 2
   Найдём выражение под корнем:$$(a+b)^2-c^2=20^2-(5\sqrt{7})^2=400-175=225$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса.$$r = \dfrac{60 + 221 - 229}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2.$$r = \dfrac{52}{2} = 26$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 7$…

1. 1
   Подставим значения $a = 7$, $b = 11$ и $c = 12$ в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 11^2 - 12^2 = 98 + 242 - 144 = 196$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если…

1. 1
   Подставим данные в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2(\sqrt{3})^2 + 2(\sqrt{7})^2 - 4^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$2 \cdot 3 + 2 \cdot 7 - 16 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$12{,}8 = \dfrac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 16 \cdot \dfrac{2}{5}$$
2. 2
   Упростим правую часть равенства.$$12{,}8 = 3{,}2d_1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении