Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь оставшейся части участка

Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 25 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 150 квадратных метров, причём граница участков проходит точно…

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного участка одного садовода:$$S_{\text{участка}} = 25 \cdot 30 = 750\ \text{м}^2$$
2. 2
   Граница участков проходит через центр круглого пруда, поэтому на каждый участок приходится половина площади пруда:$$S_{\text{пруда на участке}} = \frac{150}{2} = 75\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,6 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется линейно, поэтому в середине лестницы равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот.$$l=\dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот:$$l=\dfrac{1{,}6+2{,}6}{2}=2{,}1$$

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 30 м и 40 м. Дом, расположенный на участке, на плане также имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 5 м и 6 м. Найдите…

1. 1
   Найдём площадь дачного участка:$$S_\text{участка} = 30 \cdot 40 = 1200\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома:$$S_\text{дома} = 5 \cdot 6 = 30\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольной комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 20,1 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4 м, а длина 5,1 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Найдём площадь комнаты по результатам точных измерений.$$S = 4 \cdot 5{,}1 = 20{,}4\ \text{м}^2$$
2. 2
   Вычислим, на сколько квадратных метров эта площадь отличается от указанной на плане.$$20{,}4 - 20{,}1 = 0{,}3\ \text{м}^2$$

Расстояние до фонаря

На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 2 м, высота фонаря 4 м?

1. 1
   Большой треугольник имеет высоту 4 м и основание $x+2$ м, где $x$ — расстояние от фонаря до человека. Малый треугольник имеет высоту 1,6 м и основание 2 м. Эти треугольники подобны.$$\frac{4}{x+2}=\frac{1{,}6}{2}$$
2. 2
   Решим пропорцию:$$4\cdot 2=1{,}6(x+2)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Гипотенуза по внешнему углу

В прямоугольном треугольнике $ABC$ внешний угол при вершине $A$ равен $150^\circ$. Катет $BC = 36$. Найдите гипотенузу $AB$.

1. 1
   Внешний и внутренний углы при вершине $A$ являются смежными.$$A = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   Для угла $A$ катет $BC$ является противолежащим, а $AB$ — гипотенузой.$$\sin 30^\circ = \frac{BC}{AB}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 60 см, а ширина экрана — 48 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ, ширина и высота прямоугольника образуют прямоугольный треугольник.$$h^2 + 48^2 = 60^2$$
2. 2
   Выразим высоту и вычислим её значение:$$h = \sqrt{60^2 - 48^2} = \sqrt{3600 - 2304} = \sqrt{1296} = 36$$

Количество кафельных плиток

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 3,2 м?

1. 1
   Вычислим площадь стены:$$S_{\text{стены}} = 3{,}4 \cdot 3{,}2 = 10{,}88\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём сторону плитки в метры и найдём её площадь:$$20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м},\quad S_{\text{плитки}} = 0{,}2^2 = 0{,}04\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь кухни по плану

Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла. Комната имеет размеры $4\ \text{м} \times 4\ \text{м}$, санузел — $1{,}5\ \text{м} \times 2\ \text{м}$, длина коридора — $5{,}5\ \text{м}$…

1. 1
   Найдём общую ширину квартиры по нижней части плана:$$2 + 5{,}5 = 7{,}5\ \text{м}$$
2. 2
   Ширина кухни равна общей ширине квартиры минус ширина комнаты:$$7{,}5 - 4 = 3{,}5\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 21,2 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4,3 м, а длина 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается…

1. 1
   Найдём фактическую площадь комнаты как площадь прямоугольника.$$S = 4{,}3 \cdot 5 = 21{,}5\ \text{м}^2$$
2. 2
   Вычислим, на сколько фактическая площадь отличается от указанной на плане.$$21{,}5 - 21{,}2 = 0{,}3\ \text{м}^2$$

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 45 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, предусмотрев проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(30+45) = 150$$
2. 2
   Проезд шириной 3 м не требует установки забора, поэтому вычтем эту длину из периметра:$$150-3=147$$

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}4$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб подпирает горку посередине, поэтому высота столба составляет половину высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}4}{2} = 1{,}2$$

Плитки для облицовки стены

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 4,2 м?

1. 1
   Найдём площадь стены:$$S_{\text{стены}} = 3{,}4 \cdot 4{,}2 = 14{,}28\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём сторону плитки в метры и найдём её площадь:$$20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м},\quad S_{\text{плитки}} = 0{,}2^2 = 0{,}04\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Число спиц колеса

На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между любыми двумя соседними спицами в нём будет равен $15^\circ$?

1. 1
   Все углы между соседними спицами образуют полный угол вокруг центра колеса.$$360^\circ$$
2. 2
   Разделим полный угол на величину угла между соседними спицами:$$360^\circ : 15^\circ = 24$$

Площадь оставшейся части участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 25 м и 15 м. Хозяин отгородил на участке квадратный вольер со стороной 8 м (см. рисунок). Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ дайте…

1. 1
   Найдём площадь всего прямоугольного участка.$$S_1 = 25 \cdot 15 = 375\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь квадратного вольера.$$S_2 = 8^2 = 64\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь пола и дощечки

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 4 м и 6 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 30 см. Сколько потребуется таких дощечек?

1. 1
   Найдём площадь пола комнаты:$$S_\text{пола}=4\cdot6=24\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём размеры дощечки в метры и найдём её площадь:$$10\ \text{см}=0{,}1\ \text{м},\quad 30\ \text{см}=0{,}3\ \text{м},\quad S_\text{дощечки}=0{,}1\cdot0{,}3=0{,}03\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,25 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Высота перил изменяется линейно, поэтому в середине лестницы высота равна среднему арифметическому крайних высот.$$l=\frac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения высот:$$l=\frac{1{,}25+2{,}25}{2}=1{,}75$$

Высота опоры горки

Вертикальный столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $3{,}6$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Поскольку столб подпирает горку посередине, высота столба вдвое меньше высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3{,}6}{2} = 1{,}8$$

Угол между спицами колеса

Колесо имеет 5 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Пять равных углов между соседними спицами в сумме образуют полный угол.$$5\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Найдём величину одного угла:$$\alpha = \frac{360^\circ}{5} = 72^\circ$$

Высота прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 80 см, а ширина экрана 64 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Высота, ширина и диагональ экрана образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$h^2 + 64^2 = 80^2$$
2. 2
   Выразим квадрат высоты:$$h^2 = 80^2 - 64^2 = 6400 - 4096 = 2304$$

Ещё 1 шаг — в полном решении