Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Плитки для облицовки стены

Сколько потребуется кафельных плиток квадратной формы со стороной 20 см, чтобы облицевать ими стену, имеющую форму прямоугольника со сторонами 3,4 м и 3 м?

1. 1
   Переведём сторону плитки из сантиметров в метры: $20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м}$.$$0{,}2\ \text{м}$$
2. 2
   Найдём площадь стены.$$S_{\text{стены}} = 3{,}4 \cdot 3 = 10{,}2\ \text{м}^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Паркетные дощечки для пола

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 5 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 5 см и 40 см. Сколько потребуется таких дощечек?

1. 1
   Найдём площадь пола комнаты:$$S_{\text{пола}}=5\cdot 8=40\ \text{м}^2$$
2. 2
   Переведём размеры дощечки в метры и найдём её площадь:$$5\ \text{см}=0{,}05\ \text{м},\quad 40\ \text{см}=0{,}4\ \text{м},\quad S_{\text{дощечки}}=0{,}05\cdot 0{,}4=0{,}02\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}8$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб расположен посередине наклонной части горки, поэтому его высота равна половине высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{2{,}8}{2} = 1{,}4$$

Площадь санузла по плану

Квартира состоит из комнаты, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Комната имеет размеры 5 м × 3,5 м, коридор — 1,5 м × 6,5 м, длина кухни 3,5 м. Найдите площадь санузла (в квадратных метрах).

1. 1
   Общие размеры квартиры равны $3{,}5 + 5 = 8{,}5$ м и $3{,}5 + 1{,}5 = 5$ м. Найдём площадь всей квартиры.$$S_{\text{кв}} = 8{,}5 \cdot 5 = 42{,}5$$
2. 2
   Вычислим площади комнаты, кухни и коридора.$$S_{\text{комн}} = 5 \cdot 3{,}5 = 17{,}5;\quad S_{\text{кух}} = 3{,}5 \cdot 3{,}5 = 12{,}25;\quad S_{\text{кор}} = 6{,}5 \cdot 1{,}5 = 9{,}75$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина транспортёра

Между зданиями завода и склада, находящимися друг от друга на расстоянии 15 м, для подачи материалов и готовых изделий установлен уличный автоматический транспортёр. Края креплений транспортёра…

1. 1
   Разность высот креплений равна:$$12 - 4 = 8\text{ м}$$
2. 2
   Расстояние между зданиями и разность высот образуют катеты прямоугольного треугольника, а транспортёр является его гипотенузой.$$l = \sqrt{15^2 + 8^2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 20,5 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4,2 м, а длина — 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты…

1. 1
   Найдём площадь комнаты по результатам точных измерений.$$S = 4{,}2 \cdot 5 = 21\ \text{кв. м}$$
2. 2
   Вычислим, на сколько квадратных метров точная площадь отличается от площади на плане.$$21 - 20{,}5 = 0{,}5\ \text{кв. м}$$

Длина изгороди участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 35 м и 20 м. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 10 м (см. рисунок). Найдите…

1. 1
   Вычислим длину изгороди вокруг прямоугольного участка:$$P=2(35+20)=110\text{ м}$$
2. 2
   Две стороны квадратного участка совпадают со сторонами внешнего прямоугольника, поэтому внутри участка нужно установить ещё две стороны квадрата:$$l=2\cdot10=20\text{ м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}8$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Высота горки изменяется линейно от нуля у основания до $h$ у вершины. В середине горки высота составляет половину полной высоты.$$l = \frac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \frac{2{,}8}{2} = 1{,}4$$

Угол между спицами

Колесо имеет 9 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Девять спиц делят полный угол вокруг центра колеса на девять равных углов.$$9\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Находим величину одного угла:$$\alpha = \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ$$

Площадь окрашенной лестницы

Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 35 см, высота — 10 см, а ширина — 80…

1. 1
   Для каждой ступени окрашены горизонтальная и вертикальная поверхности. Их общая площадь равна:$$S_1 = 80 \cdot (35 + 10) = 3600\ \text{см}^2$$
2. 2
   Таких ступеней пять, поэтому площадь окрашенной поверхности равна:$$S = 5 \cdot 3600 = 18000\ \text{см}^2$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,85 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Поскольку столб установлен посередине, его высота равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот перил.$$l = \dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$l = \dfrac{1{,}85+2{,}85}{2} = \dfrac{4{,}70}{2} = 2{,}35$$

Высота столба по проводу

От столба к дому натянут провод длиной 15 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рис.). Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 12 м. Ответ дайте в…

1. 1
   Разность высоты столба $h$ и высоты крепления провода на доме образует вертикальный катет прямоугольного треугольника.$$h - 3$$
2. 2
   По теореме Пифагора для этого треугольника:$$(h - 3)^2 + 12^2 = 15^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина ограждения участка

Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 900 м и 400 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить…

1. 1
   Сторона длиной 900 м, проходящая вдоль моря, забором не ограждается.
2. 2
   Забор нужен для второй длинной стороны и двух коротких сторон:$$L = 900 + 2 \cdot 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рост человека по длине тени

Человек стоит на расстоянии 7,6 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 6 м. Длина тени человека равна 3,8 м. Какого роста человек (в метрах)?

1. 1
   Рассмотрим большой треугольник с высотой фонаря 6 м и основанием от столба до конца тени, а также малый треугольник, образованный человеком и его тенью. Эти треугольники подобны.$$6 \text{ м},\quad 7{,}6+3{,}8=11{,}4 \text{ м}$$
2. 2
   Составим пропорцию для роста человека $h$ и длины его тени:$$\frac{h}{3{,}8}=\frac{6}{11{,}4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь оставшейся части участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 30 м и 20 м. Хозяин отгородил на участке квадратный вольер со стороной 12 м (см. рисунок). Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ…

1. 1
   Найдём площадь всего прямоугольного участка:$$S_1 = 30 \cdot 20 = 600\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь квадратного вольера:$$S_2 = 12^2 = 144\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1000 м и 500 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить…

1. 1
   Забором нужно огородить одну большую сторону прямоугольника и две меньшие стороны.$$L = 1000 + 2 \cdot 500$$
2. 2
   Вычислим длину забора.$$L = 1000 + 1000 = 2000\ \text{м}$$

Ширина экрана ноутбука

Диагональ прямоугольного экрана ноутбука равна 30 см, а высота экрана — 18 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ, высота и ширина экрана образуют прямоугольный треугольник. Обозначим ширину через $x$.$$x^2 + 18^2 = 30^2$$
2. 2
   Выразим ширину и вычислим её значение.$$x = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$$

Высота экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 58 см, а ширина экрана — 42 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат высоты равен разности квадратов диагонали и ширины:$$h^2 = 58^2 - 42^2$$
2. 2
   Вычислим значение:$$h^2 = 3364 - 1764 = 1600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Движение концов журавля

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

1. 1
   При повороте журавля перемещения концов плеч пропорциональны длинам этих плеч.$$\dfrac{h_{\text{кор}}}{h_{\text{длин}}}=\dfrac{l_{\text{кор}}}{l_{\text{длин}}}$$
2. 2
   Подставим известные значения: длина короткого плеча равна 2 м, длинного — 6 м, подъём конца короткого плеча — 1,5 м.$$\dfrac{1{,}5}{h}=\dfrac{2}{6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 3 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен под серединой наклонной горки, поэтому соответствующая высота составляет половину полной высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$$