Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\,\text{м} \times 1\,\text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь одной клетки плана:$$S_1 = 1 \cdot 1 = 1\,\text{м}^2$$
2. 2
   Участок занимает две клетки, поэтому его площадь равна:$$S = 2 \cdot 1 = 2\,\text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ м \times 1\ м$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   На плане изображён треугольник. Возьмём его вертикальную сторону за основание.$$a = 5\ \text{м}$$
2. 2
   Расстояние от противоположной вершины до вертикального основания равно трём клеткам.$$h = 3\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Сторона каждой клетки равна $1\ \text{м}$, поэтому площадь одной клетки составляет:$$S_\text{клетки}=1\cdot1=1\ \text{м}^2$$
2. 2
   Подсчитываем клетки, занимаемые участком, и умножаем их число на площадь одной клетки:$$S=49\cdot1=49\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Считываем с клетчатой сетки координаты вершин участка: $(1;1)$, $(8;5)$, $(8;8)$ и $(1;10)$.
2. 2
   Применяем формулу площади многоугольника по координатам вершин.$$S=\frac12\left|(1\cdot5+8\cdot8+8\cdot10+1\cdot1)-(1\cdot8+5\cdot8+8\cdot1+10\cdot1)\right|$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму трапеции. По клеткам определяем длины её оснований и высоту:$$a=4\ \text{м},\quad b=5\ \text{м},\quad h=6\ \text{м}$$
2. 2
   Находим площадь трапеции:$$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=\dfrac{4+5}{2}\cdot6=27\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Изображённый участок имеет форму параллелограмма. Его основание равно 5 клеткам, а высота — 6 клеткам.$$a = 5,\quad h = 6$$
2. 2
   Площадь одной клетки равна $1\ \text{м}^2$, поэтому площадь участка равна произведению основания на высоту.$$S = ah = 5 \cdot 6 = 30\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\,\text{м} \times 1\,\text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Площадь одной клетки плана:$$S_1 = 1 \cdot 1 = 1\,\text{м}^2$$
2. 2
   Подсчитываем количество клеток, занятых участком: 6.$$S = 6 \cdot 1 = 6\,\text{м}^2$$

Площадь заштрихованного кольца

На клетчатой бумаге нарисованы два круга. Площадь внутреннего круга равна 16. Найдите площадь заштрихованной фигуры.

1. 1
   По клеткам видно, что радиус внешнего круга в 2 раза больше радиуса внутреннего круга.
2. 2
   Следовательно, площадь внешнего круга в $2^2=4$ раза больше площади внутреннего круга:$$S_{\text{внеш}}=4\cdot16=64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь выделенного участка

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Подсчитаем число клеток в выделенном участке: в верхнем ряду 4 клетки, в двух нижних рядах по 3 клетки.$$4 + 3 + 3 = 10$$
2. 2
   Площадь одной клетки равна $1\ \text{м}^2$, поэтому площадь участка равна числу занятых клеток.$$S = 10 \cdot 1 = 10\ \text{м}^2$$

Площадь участка по плану

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Одна клетка плана изображает квадрат со стороной $1$ м, поэтому её площадь равна $1\ \text{м}^2$.$$S_1=1\cdot 1=1\ \text{м}^2$$
2. 2
   По плану участок занимает 20 клеток.$$S=20\cdot S_1=20\cdot 1=20\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму ромба. По клеткам определяем длины его диагоналей: горизонтальная диагональ равна $6\ \text{м}$, вертикальная — $8\ \text{м}$.$$d_1 = 6,\quad d_2 = 8$$
2. 2
   Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 8}{2} = 24$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $10\ \text{м} \times 10\ \text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По плану основание треугольника равно 7 клеткам, а высота также равна 7 клеткам.$$S_{\text{кл}} = \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 7 = 24{,}5$$
2. 2
   Площадь одной клетки равна $100\ \text{м}^2$, поэтому переводим площадь участка в квадратные метры.$$S = 24{,}5 \cdot 100 = 2450\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $10\ \text{м} \times 10\ \text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По координатам вершин участка на сетке: $(4;1)$, $(8;4)$, $(5;8)$ и $(1;5)$. Площадь четырёхугольника на плане равна $25$ клеткам.$$S_{\text{клеток}}=25$$
2. 2
   Сторона клетки равна $10$ м, поэтому площадь одной клетки составляет:$$S_{\text{клетки}}=10\cdot10=100\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь прямоугольного участка

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь прямоугольного участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По плану длина прямоугольного участка равна 6 клеткам, а ширина — 5 клеткам. Сторона каждой клетки равна 1 м.$$a = 6\ \text{м},\quad b = 5\ \text{м}$$
2. 2
   Вычислим площадь прямоугольника.$$S = ab = 6 \cdot 5 = 30\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $10\,\text{м} \times 10\,\text{м}$. Найдите площадь участка, выделенного на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Выделенный участок имеет форму треугольника. Его вертикальное основание занимает 5 клеток, а горизонтальная высота — 6 клеток.$$S_{\text{кл}} = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 6 = 15$$
2. 2
   Площадь одной клетки составляет $10\cdot 10=100\,\text{м}^2$.$$S = 15\cdot 100 = 1500\,\text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ м \times 1\ м$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. По клеткам его основание равно $8$ м, а высота — $3$ м.$$a = 8,\quad h = 3$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника:$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3 = 12$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Изображённый участок имеет форму треугольника. По клеткам определяем его основание и высоту: $a = 3$ м, $h = 8$ м.$$a=3,\quad h=8$$
2. 2
   Вычисляем площадь треугольника:$$S=\dfrac{ah}{2}=\dfrac{3\cdot 8}{2}=12\ \text{м}^2$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Изображённый участок имеет форму ромба. По клеткам определяем длины его диагоналей: вертикальная диагональ равна $6$ м, горизонтальная — $4$ м.$$d_1 = 6,\quad d_2 = 4$$
2. 2
   Вычисляем площадь ромба по формуле половины произведения диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 4}{2} = 12$$

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   Участок имеет форму треугольника. В качестве основания возьмём вертикальную сторону.$$a = 6\ \text{м}$$
2. 2
   Перпендикулярное расстояние от противоположной вершины до основания равно $7$ клеткам, то есть $7$ м.$$h = 7\ \text{м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь участка на плане

План местности разбит на клетки. Каждая клетка обозначает квадрат $1\ \text{м} \times 1\ \text{м}$. Найдите площадь участка, изображённого на плане. Ответ дайте в квадратных метрах.

1. 1
   По клеткам изображённый участок можно рассматривать как трапецию с основаниями $7$ м и $5$ м и высотой $9$ м.$$a=7,\quad b=5,\quad h=9$$
2. 2
   Вычислим площадь трапеции.$$S=\dfrac{a+b}{2}\cdot h=\dfrac{7+5}{2}\cdot9=54$$