Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Удлинение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают пружину, $x$ — абсолютное удлинение пружины (в метрах), $k$ — коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь…

1. 1
   Из формулы $F = kx$ выразим абсолютное удлинение пружины:$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим значения силы и коэффициента упругости:$$x = \dfrac{38}{2} = 19$$

Диагональ четырёхугольника по площади

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину первой диагонали из формулы площади:$$d_1 = \dfrac{2S}{d_2\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_1 = \dfrac{2 \cdot 22{,}5}{12 \cdot \frac{5}{12}} = \dfrac{45}{5} = 9$$

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим в формулу $v = \sqrt{2gh}$ значения $g = 9{,}8$ и $h = 62{,}5$.$$v = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 62{,}5}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение и извлечём квадратный корень.$$v = \sqrt{1225} = 35$$

Расчёт сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$R = \dfrac{211{,}25}{6{,}5^2} = \dfrac{211{,}25}{42{,}25} = 5$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим значения заряда и ёмкости в формулу.$$W = \dfrac{(0{,}07)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$(0{,}07)^2 = 0{,}0049, \quad 2 \cdot 5 \cdot 10^{-4} = 10^{-3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим данные в формулу энергии заряженного конденсатора.$$W = \dfrac{(0{,}009)^2}{2 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = \dfrac{0{,}000081}{0{,}001} = 0{,}081$$

Мощность постоянного тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если…

1. 1
   Подставим в формулу $P = I^2R$ значения $I = 7$ и $R = 5$.$$P = 7^2 \cdot 5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 49 \cdot 5 = 245$$

Площадь четырёхугольника по диагоналям

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения диагоналей и синуса угла в формулу площади.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \dfrac{5}{6}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = 5$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$ значения $a = 6$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{7}$.$$R = \dfrac{6}{2 \cdot \frac{1}{7}}$$
2. 2
   Выполним деление на дробь.$$R = 6 \cdot \dfrac{7}{2} = 21$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 12}{5 \cdot 16} = \dfrac{24}{80} = 0{,}3$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим сторону $b$ из формулы площади:$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{13}{2} \cdot 30}{12 \cdot 13}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 2, 4, 27.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 27}$$
2. 2
   Вычислим произведение и извлечём кубический корень:$$g = \sqrt[3]{216} = 6$$

Длина медианы треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите длину медианы $m_c$, если…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{11})^2 - 2^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим подкоренное выражение:$$2 \cdot 3^2 + 2 \cdot 11 - 2^2 = 18 + 22 - 4 = 36$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус окружности по хорде

На окружности отмечена точка $C$. Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 18$, $BC = 24$. Найдите радиус окружности.

1. 1
   Так как $AB$ — диаметр окружности, угол $ACB$ прямой.$$\angle ACB = 90^\circ$$
2. 2
   По теореме Пифагора найдём диаметр $AB$:$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{900} = 30$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Синус угла по теореме синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим синус угла $\alpha$:$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\sin\alpha=\frac{17\cdot\frac{3}{17}}{15}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}=0.2$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — длины двух сторон треугольника, $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $b = 13$, $c = 12$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$S = 26$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin \alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади:$$d_2 = \frac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2 = \frac{2 \cdot 57{,}75}{11 \cdot \frac{7}{12}} = \frac{115{,}5 \cdot 12}{77} = 18$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{2}$, $3$ и $4$.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{2})^2+3^2+4^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел и упростим выражение:$$q = \sqrt{\dfrac{2+9+16}{3}} = \sqrt{9} = 3$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$ значения $a = 8$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{5}$.$$R = \dfrac{8}{2 \cdot \frac{1}{5}}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$R = \dfrac{8}{\frac{2}{5}} = 8 \cdot \dfrac{5}{2} = 20$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a = 4$, $b = 13$, $c = 15$ и $R = \dfrac{65}{8}$ в формулу.$$S = \dfrac{4 \cdot 13 \cdot 15}{4 \cdot \frac{65}{8}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{780}{\frac{65}{2}} = 24$$