Тапсырма 4 ЕГЭ по базалық математикаға: ФИПИ шешімдері қадамдық жауаптарымен

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a = 119$…

1. 1
   Подставим значения катетов и гипотенузы в формулу.$$r = \dfrac{119+120-169}{2}$$
2. 2
   Вычислим числитель и разделим результат на 2.$$r = \dfrac{70}{2} = 35$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Из формулы $S = \dfrac{abc}{4R}$ выразим сторону $b$:$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{85}{8} \cdot 36}{9 \cdot 10} = 17$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{14}$, $5$ и $6$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{14})^2+5^2+6^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем:$$q = \sqrt{\dfrac{14+25+36}{3}} = \sqrt{25}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Удлинение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают пружину, $x$ — абсолютное удлинение пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент упругости (в Н/м). Пользуясь…

1. 1
   Выразим абсолютное удлинение пружины из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим заданные значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{35}{7} = 5$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 27}{4 \cdot 15} = \dfrac{54}{60} = 0{,}9$$

Нахождение стороны треугольника

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из данной формулы.$$a = 2R\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$a = 2 \cdot 14 \cdot \dfrac{5}{7} = 20$$

Среднее геометрическое чисел

Среднее геометрическое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $g = \sqrt[3]{abc}$. Вычислите среднее геометрическое чисел 3, 4, 18.

1. 1
   Подставим данные числа в формулу среднего геометрического:$$g = \sqrt[3]{3 \cdot 4 \cdot 18}$$
2. 2
   Вычислим произведение под знаком корня:$$3 \cdot 4 \cdot 18 = 216$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения стороны и синуса угла в формулу:$$R = \dfrac{12}{2 \cdot \frac{1}{7}}$$
2. 2
   Деление на дробь заменяем умножением на обратную дробь:$$R = 12 \cdot \dfrac{7}{2} = 42$$

Расстояние по эхолокации

Эхолокация — это способ определения расстояния до объекта при помощи звуковой волны. В морской практике для определения расстояния до объекта в толще воды используют формулу $h = \dfrac{vt}{2}$, где…

1. 1
   Подставим в формулу значения скорости звука и времени:$$h = \dfrac{1520 \cdot 3}{2}$$
2. 2
   Вычислим расстояние до объекта:$$h = \dfrac{4560}{2} = 2280$$

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — длины оснований трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если $a = 3$, $b = 6$ и…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{3+6}{2} \cdot 4$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$S = \dfrac{9}{2} \cdot 4 = 18$$

Сторона по теореме синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из теоремы синусов.$$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$a=6\cdot\frac{1/4}{1/10}=6\cdot\frac{10}{4}=15$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{2+4}\sqrt{2\cdot4\left((2+4)^2-(3\sqrt{2})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$(2+4)^2-(3\sqrt{2})^2=36-18=18$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Объём параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 30$…

1. 1
   Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = \dfrac{30}{4 \cdot 2{,}5} = \dfrac{30}{10} = 3$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r = \dfrac{104 + 153 - 185}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$r = \dfrac{72}{2} = 36$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 2$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2\cdot 2^2 + 2\cdot (4\sqrt{2})^2 - 6^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$2\cdot 2^2 + 2\cdot (4\sqrt{2})^2 - 6^2 = 8 + 64 - 36 = 36$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Расчёт кинетической энергии

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите $E$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу значения $m = 14$ и $v = 3$.$$E = \dfrac{14 \cdot 3^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{14 \cdot 9}{2} = 63$$

Площадь прямоугольника по диагонали

Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d^2 \sin \alpha}{2}$, где $d$ — длина диагонали, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим в формулу $d = 3$ и $\sin \alpha = \dfrac{2}{3}$.$$S = \dfrac{3^2 \cdot \frac{2}{3}}{2}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$S = \dfrac{9 \cdot \frac{2}{3}}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$, $c$ и $R$ в формулу площади.$$S = \dfrac{3 \cdot 25 \cdot 26}{4 \cdot \frac{325}{24}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$S = \dfrac{1950}{\frac{325}{6}} = 1950 \cdot \dfrac{6}{325} = 36$$

Стоимость колодца из колец

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значение $n = 5$:$$C = 6000 + 4100 \cdot 5$$
2. 2
   Вычислим стоимость колодца:$$C = 6000 + 20500 = 26500$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим данные в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{4+8}\sqrt{4\cdot 8\left((4+8)^2-(6\sqrt{2})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$(6\sqrt{2})^2=72,\quad (4+8)^2=144$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде