Вычислите значение выражения $\mathrm{FE}_{16} - \mathrm{F9}_{16}$. В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.
- 1
Разложим шестнадцатеричные числа по разрядам: цифра $\mathrm{F}$ обозначает 15, а цифра $\mathrm{E}$ — 14.$$16\cdot15+14-(16\cdot15+9)$$
- 2
Слагаемые с разрядом 16 сокращаются.$$(16\cdot15+14)-(16\cdot15+9)=14-9=5$$
Определите, при каком наименьшем введённом значении переменной $s$ программа выведет число 64. Для Вашего удобства программа представлена на четырёх языках программирования.
- 1
Переменная n изначально равна 1 и на каждой итерации удваивается. Чтобы получить 64, цикл должен выполниться шесть раз.$$1 \cdot 2^6 = 64$$
- 2
На итерациях из переменной s последовательно вычитаются числа $2, 4, 8, 16, 32, 64$. Для выполнения шестой итерации значение s перед ней должно быть неотрицательным.$$s_0 - (2 + 4 + 8 + 16 + 32) \geq 0$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Определите количество шестизначных чисел, записанных в шестеричной системе счисления, в записи которых ровно одна цифра 2, при этом никакая нечётная цифра не стоит рядом с цифрой 2.
- 1
Рассматриваем шестизначные жазбалар в шестеричной системе и фиксируем положение единственной цифры 2.
- 2
Для каждой позиции цифры 2 перебираем допустимые значения соседних разрядов: рядом с цифрой 2 могут стоять только чётные цифры, а остальные разряды заполняются цифрами, отличными от 2. Для первого разряда дополнительно исключается 0.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Определите количество девятеричных пятизначных чисел, которые не начинаются с нечётных цифр, не оканчиваются цифрами 1 или 8, а также содержат в своей записи не более одной цифры 3.
- 1
Первая цифра не может быть нечётной и не может быть нулём, поэтому для неё доступны цифры $2, 4, 6, 8$: всего 4 варианта.
- 2
Последняя цифра не может быть равна 1 или 8. Всего для неё доступно 7 цифр. Если цифра 3 не используется, остаётся 6 вариантов.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Сколько существует шестнадцатеричных четырёхзначных чисел, в которых все цифры различны и никакие две чётные или две нечётные цифры не стоят рядом?
- 1
В шестнадцатеричной системе есть 8 чётных цифр ($0, 2, 4, 6, 8, A, C, E$) и 8 нечётных цифр ($1, 3, 5, 7, 9, B, D, F$). Чётность цифр должна чередоваться, поэтому возможны две схемы.
- 2
Если первой стоит чётная цифра, то она не может быть нулём: 7 вариантов. Затем выбираются нечётная цифра — 8 вариантов, чётная — 7 вариантов и нечётная — 7 вариантов.$$7 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 7 = 2744$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Определите количество девятеричных пятизначных чисел, в записи которых ровно одна цифра 0, при этом никакая нечётная цифра не стоит рядом с цифрой 0.
- 1
В девятеричной системе имеются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Если рядом с нулём стоит цифра, она должна быть чётной. Для соседней ненулевой цифры доступны 4 варианта: 2, 4, 6, 8.
- 2
Рассматриваем все возможные позиции единственного нуля в пятизначной записи. Для каждой позиции выбираем допустимые соседние цифры, а остальные цифры — из ненулевых цифр девятеричной системы.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Все пятибуквенные слова, составленные из букв А, К, Ц, Е, Н, Т, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Определите, под каким номером в этом списке стоит первое слово с чётным номером…
- 1
Буквы идут в порядке А, Е, К, Н, Т, Ц. Поэтому им соответствуют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5.
- 2
Слова, не начинающиеся с А, Е или К, начинаются с Н, Т или Ц. Раньше всего рассматриваем слова, начинающиеся с Н.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В терминологии сетей TCP/IP маской сети называют двоичное число, которое показывает, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая — к адресу узла в этой сети. Адрес сети…
- 1
Применяем поразрядную конъюнкцию IP-адреса узла и маски сети.$$95.106.135.150 \land 255.255.255.0 = 95.106.135.0$$
- 2
Находим сумму числовых значений октетов адреса сети.$$95 + 106 + 135 + 0 = 336$$
В терминологии сетей TCP/IP маской сети называют двоичное число, которое показывает, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая — к адресу узла в этой сети. Адрес сети…
- 1
Маска 255.252.0.0 означает, что первые 14 бит относятся к адресу сети. Во втором октете размер блока подсетей равен 256 - 252 = 4.
- 2
Значение второго октета исходного адреса равно 81. Оно попадает в диапазон от 80 до 83, поэтому адрес сети начинается как 98.80.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В терминологии сетей TCP/IP маской сети называется двоичное число, определяющее, какая часть IP-адреса узла сети относится к адресу сети, а какая — к адресу самого узла в этой сети. В маске сначала…
- 1
Рассмотрим третьи байты IP-адреса и адреса сети: $101$ и $64$.
- 2
Переведём их в двоичную систему:$$101_{10}=01100101_2,\quad 64_{10}=01000000_2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $9^{11} \times 3^{20} - 3^9 - 27$ записали в системе счисления с основанием 3. Сколько цифр $2$ содержится в этой записи?
- 1
Представим множитель $9^{11}$ как степень числа $3$: $9^{11} = (3^2)^{11} = 3^{22}$.$$9^{11} \times 3^{20} = 3^{22} \times 3^{20} = 3^{42}$$
- 2
Тогда исходное выражение имеет вид:$$3^{42} - 3^9 - 27 = 3^{42} - 3^9 - 3^3$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15: $9897x21_{15} + 12x023_{15}$. В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной…
- 1
Переведём выражение в десятичную систему, сохранив зависимость от $x$:$$9897x21_{15}+12x023_{15}=109930564+3600x$$
- 2
Для делимости на 14 рассмотрим выражение по модулю 14:$$109930564+3600x\equiv 2+2x\pmod{14}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $3 \cdot 625^{173} + 4 \cdot 125^{180} + 3 \cdot 25^{157} + 2 \cdot 5^{155} + 156$ записали в системе счисления с основанием $25$. Сколько значащих нулей…
- 1
Выразим степени чисел через степени основания $25$: $625 = 25^2$, $125 = 5^3$, а $25$ уже является основанием системы.$$3 \cdot 625^{173} = 3 \cdot 25^{346}$$
- 2
Так как $125^{180} = 5^{540} = 25^{270}$, второй член равен $4 \cdot 25^{270}$, а третий член уже имеет вид $3 \cdot 25^{157}$.$$4 \cdot 125^{180} = 4 \cdot 25^{270}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $16^{18} \times 4^{10} - 4^6 - 16$ записали в системе счисления с основанием 4. Сколько цифр 3 содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение как степень числа 4:$$16^{18} \times 4^{10} - 4^6 - 16 = (4^2)^{18} \times 4^{10} - 4^6 - 4^2 = 4^{46} - 4^6 - 4^2$$
- 2
В системе счисления с основанием 4 число $4^{46} - 4^6$ записывается так, что на позициях с 6-й по 45-ю стоят цифры 3. Всего таких цифр 40.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $49^7 + 7^{21} - 7$ записали в системе счисления с основанием $7$. Сколько цифр $6$ содержится в этой записи?
- 1
Представим первую степень через основание системы счисления:$$49^7 = (7^2)^7 = 7^{14}$$
- 2
Преобразуем выражение:$$7^{14} + 7^{21} - 7 = 7^{21} + (7^{14} - 7)$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 25: $142x23_{25} + 1x34561_{25}$ В записи чисел переменной $x$ обозначена неизвестная цифра из алфавита 25-ричной системы…
- 1
Разворачиваем записи чисел по степеням основания 25, заменяя неизвестную цифру её значениями от 0 до 24.$$142x23_{25}=1\cdot25^5+4\cdot25^4+2\cdot25^3+x\cdot25^2+2\cdot25+3$$
- 2
Аналогично переводим второе слагаемое в десятичную систему.$$1x34561_{25}=1\cdot25^5+x\cdot25^4+3\cdot25^3+4\cdot25^2+5\cdot25+6$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $3^{100} - x$, где $x$ — целое положительное число, не превышающее 2030, записали в троичной системе счисления. Определите наибольшее значение $x$, при котором в…
- 1
Перебираем значения $x$ в порядке убывания, начиная с 2030, и для каждого вычисляем троичную запись числа $3^{100}-x$.
- 2
Для наибольшего подходящего значения получаем $x=1823$. Его троичная запись имеет вид $1823_{10}=2111122_3$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $49^{12} + 7^{36} - 49$ записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр «6» содержится в этой записи?
- 1
Перепишем выражение через степени основания 7: $49^{12} = (7^2)^{12} = 7^{24}$, а $49 = 7^2$.$$N = 7^{24} + 7^{36} - 7^2$$
- 2
Рассмотрим разность $7^{24} - 7^2$. В семеричной системе в разрядах со степенями от 2 до 23 включительно будут стоять цифры 6.$$7^{24} - 7^2 = 6\cdot 7^2 + 6\cdot 7^3 + \dots + 6\cdot 7^{23}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 24 оканчивается на 3.
- 1
Последняя цифра записи числа в системе счисления с основанием $p$ равна остатку от деления числа на $p$.$$24 \equiv 3 \pmod p$$
- 2
Следовательно, основание должно быть делителем разности $24 - 3$.$$p \mid (24 - 3) = 21$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Значение арифметического выражения $9^{23} + 3^{69} - 9$ записали в системе счисления с основанием $3$. Сколько цифр «2» содержится в этой записи?
- 1
Заменим число $9$ степенью тройки:$$9^{23} + 3^{69} - 9 = (3^2)^{23} + 3^{69} - 3^2 = 3^{46} + 3^{69} - 3^2$$
- 2
Старший член $3^{69}$ добавляет единицу в разряд $3^{69}$ и не влияет на разряды от $3^2$ до $3^{45}$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде