Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Четырёхугольники и многоугольники» — с ответами

Угол биссектрисы параллелограмма

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $40^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В параллелограмме $BC \parallel AD$. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен углу между этой биссектрисой и стороной $BC$, то есть $40^\circ$.$$\angle CAD = 40^\circ$$
2. 2
   Биссектриса делит угол $A$ пополам, поэтому угол $A$ равен удвоенному углу между биссектрисой и стороной $AD$.$$\angle A = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Больший угол трапеции

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $94^\circ$. Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны. Поэтому два угла, сумма которых равна $94^\circ$, имеют одинаковую величину.$$94^\circ : 2 = 47^\circ$$
2. 2
   Соседние углы трапеции в сумме дают $180^\circ$.$$180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$$

Площадь ромба по диагоналям

Диагональ ромба равна 20, а вторая диагональ равна 12. Найдите площадь ромба.

1. 1
   Используем формулу площади ромба через его диагонали.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2}$$
2. 2
   Подставим значения диагоналей:$$S = \dfrac{20 \cdot 12}{2} = 120$$

Острый угол параллелограмма

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $8^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В параллелограмме $AD \parallel BC$. Поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ также равен $8^\circ$.$$8^\circ$$
2. 2
   Биссектриса угла $A$ делит его на два равных угла.$$\angle A = 2 \cdot 8^\circ = 16^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол в равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $50^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны, поэтому$$\angle BAD = \angle ADC = 50^\circ$$
2. 2
   Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, следовательно$$\angle CAD = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции основания равны 3 и 9, а один из углов между боковой стороной и основанием равен $45^\circ$. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания. В равнобедренной трапеции боковые части большего основания равны.$$x=\dfrac{9-3}{2}=3$$
2. 2
   В получившемся прямоугольном треугольнике угол при основании равен $45^\circ$, поэтому катеты равны. Следовательно, высота трапеции равна 3.$$h=x=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Меньший угол трапеции

Один из углов прямоугольной трапеции равен $139^\circ$. Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В трапеции сумма двух углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$.$$\alpha + 139^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим неизвестный угол:$$\alpha = 180^\circ - 139^\circ = 41^\circ$$

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $11\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется по формуле:$$d=a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны квадрата:$$d=11\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=11\cdot2=22$$

Половина диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 12$, $BD = 20$, $AB = 7$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим значение диагонали $BD$:$$DO = \dfrac{20}{2} = 10$$