ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Четырёхугольники и многоугольники» — жауаптарымен

Острый угол ромба

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $29^\circ$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Диагональ ромба делит его угол пополам. Перпендикуляр к стороне образует с другой диагональю угол, равный половине острого угла ромба.$$\frac{\alpha}{2} = 29^\circ$$
2. 2
   Умножаем равенство на два и находим острый угол ромба.$$\alpha = 2 \cdot 29^\circ = 58^\circ$$

Половина диагонали параллелограмма

Диагонали $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $AC = 22$, $BD = 24$, $AB = 3$. Найдите $DO$.

1. 1
   Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.$$DO = \dfrac{BD}{2}$$
2. 2
   Подставим длину диагонали $BD$.$$DO = \dfrac{24}{2} = 12$$

Меньшее основание трапеции

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из конца её меньшего основания, делит большее основание на отрезки длиной 3 и 8. Найдите меньшее основание трапеции.

1. 1
   В равнобедренной трапеции высота, проведённая из конца меньшего основания, образует у большего основания отрезок, равный разности оснований, делённой на 2. Поэтому меньшая часть большего основания равна боковому смещению, а разность двух…$$b = 8 - 3$$
2. 2
   Находим длину меньшего основания.$$b = 5$$

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $6\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата выражается через его сторону формулой:$$d = a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим значение стороны квадрата:$$d = 6\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 6\cdot 2 = 12$$

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 3 и 5, а высота равна 9. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Используем формулу площади трапеции:$$S = \dfrac{a+b}{2}h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты:$$S = \dfrac{3+5}{2} \cdot 9 = 4 \cdot 9 = 36$$

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, $BO = 12$, $AB = 18$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Найдём диагональ $BD$.$$BD = 2 \cdot 12 = 24$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высоты параллелограмма

Площадь параллелограмма равна 48, а две его стороны равны 8 и 16. Найдите его высоты. В ответе укажите меньшую высоту.

1. 1
   Высоту, проведённую к стороне длины 8, найдём по формуле площади параллелограмма.$$h_1 = \dfrac{S}{a_1} = \dfrac{48}{8} = 6$$
2. 2
   Высоту, проведённую к стороне длины 16, найдём аналогично.$$h_2 = \dfrac{S}{a_2} = \dfrac{48}{16} = 3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь трапеции

Основания трапеции равны 13 и 23, а высота равна 5. Найдите площадь этой трапеции.

1. 1
   Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.$$S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$$
2. 2
   Подставим значения оснований и высоты.$$S = \dfrac{13+23}{2} \cdot 5 = 18 \cdot 5 = 90$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $69^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $CD$ угол $67^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   Так как основания трапеции параллельны, соседние внутренние углы при боковой стороне $CD$ supplementary и в сумме дают $180^\circ$.$$\angle C = 180^\circ - \angle D = 180^\circ - 69^\circ = 111^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $C$ на угол между диагональю и стороной $CD$, равный $67^\circ$, и искомый угол между диагональю и меньшим основанием $BC$.$$\angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 111^\circ - 67^\circ = 44^\circ$$

Площадь ромба по диагоналям

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   По рисунку длина первой диагонали ромба равна $12$ клеткам, а второй — $6$ клеткам.$$d_1 = 12,\quad d_2 = 6$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба через его диагонали.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{12 \cdot 6}{2} = 36$$

Средняя желі трапеции

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

1. 1
   По рисунку длина меньшего основания равна одной клетке, а длина большего основания — пяти клеткам.$$a=1,\quad b=5$$
2. 2
   Средняя желі трапеции равна полусумме оснований.$$m=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{1+5}{2}=3$$

Большая диагональ ромба

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

1. 1
   Большая диагональ ромба — горизонтальный отрезок, соединяющий левую и правую вершины.
2. 2
   По клетчатой бумаге между этими вершинами насчитывается 10 клеток. Размер одной клетки равен 1.$$d = 10 \cdot 1 = 10$$

Площадь ромба на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   По рисунку длины диагоналей ромба равны 6 и 2 клетки.$$d_1 = 6,\quad d_2 = 2$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба через диагонали.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{6 \cdot 2}{2} = 6$$

Средняя желі трапеции

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

1. 1
   По клеткам определяем длины оснований трапеции: верхнее основание равно $1$, нижнее — $9$.$$a = 1,\quad b = 9$$
2. 2
   Средняя желі трапеции равна полусумме оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{1+9}{2} = 5$$

Площадь ромба на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   Считаем длины диагоналей ромба по клеткам: горизонтальная диагональ равна $8$, вертикальная — $6$.$$d_1 = 8,\quad d_2 = 6$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба как половины произведения диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{8 \cdot 6}{2} = 24$$

Средняя желі трапеции

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

1. 1
   По рисунку длина меньшего основания равна $4$ клеткам, а большего основания — $10$ клеткам.$$a = 4,\quad b = 10$$
2. 2
   Средняя желі трапеции равна полусумме оснований.$$m = \dfrac{a+b}{2} = \dfrac{4+10}{2} = 7$$

Площадь ромба на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   По рисунку длина одной диагонали ромба равна $8$ клеткам, а длина другой — $4$ клеткам.$$d_1 = 8,\quad d_2 = 4$$
2. 2
   Площадь ромба вычисляется как половина произведения его диагоналей.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{8 \cdot 4}{2} = 16$$

Большая диагональ ромба

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите длину его большей диагонали.

1. 1
   Большая диагональ ромба соединяет левую и правую вершины и расположена горизонтально.
2. 2
   По клетчатой бумаге видно, что между этими вершинами укладывается 10 отрезков длиной 1.$$d = 10 \cdot 1 = 10$$

Средняя желі трапеции

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите длину её средней линии.

1. 1
   По рисунку длина меньшего основания равна одной клетке, а длина большего основания — семи клеткам.$$a=1,\quad b=7$$
2. 2
   Средняя желі трапеции равна полусумме оснований.$$m=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{1+7}{2}=4$$

Площадь ромба на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   По рисунку длина горизонтальной диагонали ромба равна 10 клеткам, а вертикальной — 8 клеткам.$$d_1 = 10,\quad d_2 = 8$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба через его диагонали.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{10 \cdot 8}{2} = 40$$