Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Арифметическая и геометрическая прогрессии» — с ответами

Путь поезда за семь секунд

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 1 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,4 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 7…

1. 1
   Расстояния, пройденные за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 1$, разностью $d = 0{,}4$ и числом членов $n = 7$.$$a_n = a_1 + (n - 1)d$$
2. 2
   Найдём расстояние, пройденное за седьмую секунду.$$a_7 = 1 + (7 - 1) \cdot 0{,}4 = 3{,}4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Места в последнем ряду

В амфитеатре 15 рядов, причём в каждом следующем ряду на одно и то же число мест больше, чем в предыдущем. В третьем ряду 26 мест, а в седьмом ряду 38 мест. Сколько мест в последнем ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию. Найдём её разность:$$a_7-a_3=4d$$
2. 2
   Подставим известные значения и найдём $d$:$$38-26=4d,\quad d=3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рост массы колонии

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 17 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…

1. 1
   Определим число двадцатиминутных промежутков за 60 минут:$$n = \frac{60}{20} = 3$$
2. 2
   Каждые 20 минут масса умножается на 3, поэтому через 60 минут она составит:$$m = 17 \cdot 3^3 = 17 \cdot 27 = 459\text{ мг}$$

Рост массы колонии

В ходе биологического эксперимента в чашку Петри с питательной средой поместили колонию микроорганизмов массой 16 мг. За каждые 20 минут масса колонии увеличивается в 3 раза. Найдите массу колонии…

1. 1
   Определим количество двадцатиминутных интервалов за 60 минут.$$n = \dfrac{60}{20} = 3$$
2. 2
   За каждый интервал масса умножается на 3, поэтому найдём массу после трёх увеличений.$$m = 16 \cdot 3^3 = 16 \cdot 27 = 432$$

Количество мест в амфитеатре

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 15 мест, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 15, разность равна 3.$$a_1 = 15,\quad d = 3,\quad n = 12$$
2. 2
   Найдём количество мест в последнем, двенадцатом, ряду.$$a_{12} = a_1 + (12 - 1)d = 15 + 11 \cdot 3 = 48$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Путь автомобиля при торможении

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 20 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные автомобилем за секунды торможения, образуют арифметическую прогрессию: первый член равен 20 м, разность равна $-4$ м.$$a_1=20,\quad d=-4$$
2. 2
   Найдём расстояния, пройденные за первые четыре секунды:$$a_1=20,\quad a_2=16,\quad a_3=12,\quad a_4=8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Прыжки мячика по высоте

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 3,6 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в два раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик…

1. 1
   Высота каждого следующего прыжка в два раза меньше предыдущей, поэтому высоты образуют геометрическую прогрессию с первым членом $3{,}6$ м и знаменателем $q=\dfrac{1}{2}$.$$h_n=3{,}6\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$$
2. 2
   Последовательно найдём высоты прыжков и сравним их с $25$ см $=0{,}25$ м.$$h_4=0{,}45\text{ м}>0{,}25\text{ м},\quad h_5=0{,}225\text{ м}<0{,}25\text{ м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Путь за первые десять секунд

Поезд начал движение от станции. За первую секунду состав сдвинулся на 0,4 м, а за каждую следующую секунду он проходил на 0,3 м больше, чем за предыдущую. Сколько метров состав прошёл за первые 10…

1. 1
   Расстояния, пройденные поездом за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 0{,}4$ м и разностью $d = 0{,}3$ м.
2. 2
   Найдём сумму первых десяти членов прогрессии по формуле суммы арифметической прогрессии.$$S_{10} = \dfrac{10}{2}\left(2 \cdot 0{,}4 + 9 \cdot 0{,}3\right)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота прыжка мячика

Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по счёту прыжке мячик…

1. 1
   Высоты прыжков образуют геометрическую прогрессию с первым членом $5{,}4$ м и знаменателем $\dfrac{1}{3}$.
2. 2
   Высота $n$-го прыжка определяется формулой:$$h_n = 5{,}4 \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$$

Ещё 2 шага — в полном решении