В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $177^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ — смежные, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha_{\text{внешн.}} + 177^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 177^\circ = 3^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 14$, $BC = 5$, $\sin \angle ABC = \dfrac{6}{7}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 5 \cdot \dfrac{6}{7} = 30$$
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим значения стороны и высоты:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 31 = 7 \cdot 31 = 217$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 64^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{64^\circ}{2} = 32^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$, $BC = 15$, $\sin \angle ABC = \dfrac{4}{9}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 15 \cdot \dfrac{4}{9} = 40$$
Биссектриса равностороннего треугольника равна $13\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
Биссектриса равностороннего треугольника является его высотой.$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим известную длину биссектрисы и найдём сторону треугольника.$$13\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 126^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Используем сумму углов треугольника и обозначим каждый угол при основании через $x$.$$x + x + 126^\circ = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна 48, сторона $BC$ равна 57, сторона $AC$ равна 72. Найдите $MN$.
- 1
Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{72}{2} = 36$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 30$, $AB = 40$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$AB = 40,\quad BC = 30$$
- 2
Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{30}{40} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$$
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $18^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Находим второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ$$
Сторона треугольника равна 29, а высота, проведённая к этой стороне, равна 12. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника вычисляется как половина произведения стороны на проведённую к ней высоту.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим известные значения стороны и высоты:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 29 \cdot 12 = 29 \cdot 6 = 174$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 95, сторона $BC$ равна 80, сторона $AC$ равна 128. Найдите $MN$.
- 1
Так как точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABC$.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{128}{2} = 64$$
В треугольнике проведена биссектриса. Найдите градусную меру угла, если даны два значения углов.
- 1
Биссектриса делит один из углов треугольника на два равных угла.$$\angle 1 = \angle 2$$
- 2
Для нахождения искомого угла также необходимо использовать равенство суммы углов треугольника $180^\circ$. Однако числовые значения углов в исходных данных отсутствуют.$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{7}{9}$, $AB = 54$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — это $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета.$$BC = AB \cdot \cos B = 54 \cdot \dfrac{7}{9} = 42$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 9. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{1}{2}ab$$
- 2
Подставим длины катетов:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot 9 = 18$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{4}$, $BC = 36$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$\dfrac{7}{4} = \dfrac{AC}{36},\quad AC = 36 \cdot \dfrac{7}{4} = 63$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 62^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит его пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла $BAC$:$$\angle BAD = \frac{62^\circ}{2} = 31^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 82^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол на два равных угла.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{82^\circ}{2} = 41^\circ$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$, сторона $AB$ равна 66, сторона $BC$ равна 37, сторона $AC$ равна 74. Найдите $MN$.
- 1
Точки $M$ и $N$ — середины двух сторон треугольника, поэтому отрезок $MN$ является его средней линией.$$MN \parallel AC$$
- 2
Средняя линия треугольника равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{74}{2} = 37$$
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $63^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Находим второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ$$