В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BD$. Найдите градусную меру угла $A$, если $\angle CBD = 16^\circ$ и $\angle C = 1^\circ$.
- 1
Так как $BD$ — биссектриса угла $B$, то угол $B$ равен удвоенному углу $CBD$.$$\angle B = 2\angle CBD = 2 \cdot 16^\circ = 32^\circ$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$. Найдём угол $A$.$$\angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 32^\circ - 1^\circ = 147^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 9$, $BC = 16$, $\sin \angle ABC = \dfrac{7}{12}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 16 \cdot \dfrac{7}{12} = 42$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 122^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, значит каждый угол при основании равен:$$\angle BCA = \frac{180^\circ - 122^\circ}{2} = 29^\circ$$
Биссектриса равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
Биссектриса равностороннего треугольника является его высотой.$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим известную длину биссектрисы и найдём сторону:$$\dfrac{a\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{9}{14}$, $AB = 42$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Выразим длину катета $BC$ и подставим известные значения.$$BC = AB \cdot \cos B = 42 \cdot \dfrac{9}{14} = 27$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $106^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 106^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{5}{8}$, $AB = 16$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащей стороной является $AC$.$$AB = 16, \quad \sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $AC$.$$\dfrac{5}{8} = \dfrac{AC}{16}, \quad AC = 16 \cdot \dfrac{5}{8} = 10$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{9}{10}$, $AB = 60$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину стороны $BC$.$$BC = AB \cdot \cos B = 60 \cdot \dfrac{9}{10} = 54$$
Один из острых углов прямоугольного треугольника равен $68^\circ$. Найдите его другой острый угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна $90^\circ$.$$\alpha + \beta = 90^\circ$$
- 2
Вычислим второй острый угол:$$\beta = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 48^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, поэтому треугольник $ABH$ прямоугольный и $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Луч $AH$ лежит на стороне $AC$, поэтому угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 48^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Два катета прямоугольного треугольника равны 18 и 7. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{ab}{2}$$
- 2
Подставим значения катетов и вычислим площадь:$$S = \dfrac{18 \cdot 7}{2} = 63$$
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Найдите градусную меру угла $ABM$, если $AB = BC$ и $\angle MBC = 25^\circ$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$.
- 2
Медиана $BM$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла $ABC$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 46^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{46^\circ}{2} = 23^\circ$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 13 и 4. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.$$S = \dfrac{ab}{2}$$
- 2
Подставим значения катетов и вычислим площадь.$$S = \dfrac{13 \cdot 4}{2} = 26$$
В треугольнике два угла равны $27^\circ$ и $79^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Вычислим третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 27^\circ - 79^\circ = 74^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 56$, $BM$ — медиана, $BM = 48$. Найдите $AM$.
- 1
Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC$, точка $M$ является серединой стороны $AC$.$$AM = MC$$
- 2
Следовательно, длина отрезка $AM$ равна половине длины $AC$.$$AM = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{56}{2} = 28$$
В треугольнике два угла равны $57^\circ$ и $86^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Найдём третий угол, вычтя из суммы углов два известных угла.$$\gamma = 180^\circ - 57^\circ - 86^\circ = 37^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 108^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Поскольку $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны:$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:$$\angle BCA = \frac{180^\circ - 108^\circ}{2} = 36^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{3}{7}$, $AB = 21$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащая сторона — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = AB \cdot \sin B = 21 \cdot \dfrac{3}{7} = 9$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle BAC = 68^\circ$, $AD$ — биссектриса. Найдите угол $BAD$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AD$ — биссектриса угла $BAC$, она делит этот угол пополам.$$\angle BAD = \frac{1}{2}\angle BAC$$
- 2
Подставим известную величину угла:$$\angle BAD = \frac{68^\circ}{2} = 34^\circ$$