Решите неравенство: $(x - 4)^2(3 - x)(5x + 10) \ge 0$
- 1
Найдём корни выражения: $(x-4)^2=0$ при $x=4$, $3-x=0$ при $x=3$, $5x+10=0$ при $x=-2$. Кратности: у $(x-4)^2$ — чётная (2), у $(3-x)$ и $(5x+10)$ — нечётные (по 1).
- 2
Запишем неравенство в виде произведения с учётом знаков: $5(x+1)(x-4)^2(3-x) \ge 0$ (вынесем положительный множитель 5, не влияющий на знак). Множитель $(x-4)^2 \ge 0$ всегда, равен нулю только при $x=4$. Знак определяется $(x+1)(3-x)$…
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз $\begin{cases} 5(x-4) \le 1 - 2x \\ 3x - 1 < 15 + 11x \end{cases}$
- 1
Решаем первое неравенство: $5(x-4) \le 1 - 2x$ раскрываем скобки: $5x - 20 \le 1 - 2x$ переносим члены: $5x + 2x \le 1 + 20 \Rightarrow 7x \le 21 \Rightarrow x \le 3$$$7x \le 21$$
- 2
Решаем второе неравенство: $3x - 1 < 15 + 11x$ переносим члены: $3x - 11x < 15 + 1 \Rightarrow -8x < 16 \Rightarrow x > -2$ (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется)$$-8x < 16$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Решите неравенство: $\frac{4}{2x-9} > 0$
- 1
Чтобы дробь была положительной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки.
- 2
Числитель 4 > 0 всегда, поэтому знаменатель должен быть > 0.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Логарифмдік теңсіздікті шешіңіз: $\log_2 x + \log_x 8 - 4 < 0$
- 1
Область допустимых значений: $x>0$, $x\neq1$. Обозначим $t=\log_2 x$ ($t\neq0$). Тогда $\log_x 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 x} = \frac{3}{t}$.
- 2
Неравенство становится $t + \frac{3}{t} - 4 < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{t^2-4t+3}{t} < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{(t-1)(t-3)}{t} < 0$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Есептеңіз: $\left(\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} + \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{15}-\sqrt{13}} - 4\sqrt{13}\right)\cdot (7+\sqrt{13})$
Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} 2\sin2x + \sqrt{2} \ge 0, \ 2\cos2x-1 \le 0. \end{cases}$
- 1
Первое неравенство: $2\sin 2x + \sqrt{2} \ge 0 \Rightarrow \sin 2x \ge -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Решение: $2x \in \left[-\frac{\pi}{4} + 2\pi n,\ \frac{5\pi}{4} + 2\pi n\right]$, значит…
- 2
Второе неравенство: $2\cos 2x - 1 \le 0 \Rightarrow \cos 2x \le \frac{1}{2}$. Решение: $2x \in \left[\frac{\pi}{3} + 2\pi k,\ \frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right]$, значит $x \in \left[\frac{\pi}{6} + \pi k,\ \frac{5\pi}{6} + \pi k\right]$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Арифметикалық прогрессия берілген: $a_n=3n+5$. Егер $a_1-3, a_3-4, a_5$ – геометриялық прогрессияның қатар келетін мүшелері болса, онда геометриялық прогрессияның еселігін (q) табыңыз.
- 1
Вычислим первые три члена арифметической прогрессии по формуле $a_n=3n+5$
- 2
$a_1=3\cdot1+5=8$, $a_3=3\cdot3+5=14$, $a_5=3\cdot5+5=20$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Интегралды есептеңіз: $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin3x\cos2x - \cos3x\sin2x)dx$
- 1
Используем формулу тригонометрического преобразования: sinA cosB - cosA sinB = sin(A - B).
- 2
Тогда подынтегральное выражение: sin(3x - 2x) = sin x.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Табыңыз: $\int (x+2)^2dx$
Используя чертеж, вычислите площадь треугольника АВС. Треугольник АВС - прямоугольный, угол С = 90 градусов, угол А = 30 градусов, гипотенуза АВ = 8.
- 1
В прямоугольном треугольнике с углом 30° противолежащий ему катет равен половине гипотенузы: $BC = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
- 2
Второй катет $AC$ находится по теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Determine the number of sides of a regular polygon, if one interior angle measures $140^{\circ}$
- 1
Для правильного n-угольника внутренний угол равен $\frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n}$.$$\frac{(n-2) \cdot 180^{\circ}}{n} = 140^{\circ}$$
- 2
Решим уравнение: $180(n-2) = 140n$.$$180(n-2) = 140n$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Егер $4^x + 4^{-x} = 23$ болса, онда $2^x + 2^{-x}$ өрнегінің мәні
- 1
Обозначим $t = 2^x + 2^{-x}$. Тогда $t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2 + 2^{-2x} = 4^x + 4^{-x} + 2$.
- 2
По условию $4^x + 4^{-x} = 23$, поэтому $t^2 = 23 + 2 = 25$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Укажите одну из первообразных для функции $f(x) = -\frac{6}{x}$, при $x>0$
- 1
Найдем первообразную функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ на интервале $x>0$. Помним, что первообразной функции $\frac{1}{x}$ является $\ln |x|$, а при $x>0$ — $\ln x$.$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C\quad (x>0)$$
- 2
Тогда первообразная $-6\cdot\frac{1}{x}$ равна $-6$ умножить на первообразную $\frac{1}{x}$:$$\int -\frac{6}{x}\,dx = -6\int \frac{1}{x}\,dx = -6\ln x + C$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Теңсіздіктер жүйесін шешіңіз: $\begin{cases} 24x-8>0 \\ -36x+12>0 \end{cases}$
- 1
Решим каждое неравенство системы по отдельности.$$24x-8>0 \Rightarrow 24x>8 \Rightarrow x>\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$
- 2
Решим второе неравенство.$$-36x+12>0 \Rightarrow -36x>-12 \Rightarrow x<\frac{-12}{-36}=\frac{1}{3}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Дан закон распределения случайной величины $x_i$: 5, 7, 12, 18 $p_i$: 0,2, $p_2$, 0,4, 0,3 Определите вероятность появления события $x = 7$
- 1
Сумма всех вероятностей должна равняться 1: $0.2 + p_2 + 0.4 + 0.3 = 1$
- 2
Складываем известные вероятности: $0.2 + 0.4 + 0.3 = 0.9$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Есептеп шығарыңыз $C_7^4 \cdot \frac{P_4}{P_5}$
- 1
Считаем сочетание $C_7^4 = \frac{7!}{4! \cdot 3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35$$$C_7^4 = \frac{7!}{4! \cdot 3!}$$
- 2
Выражаем отношение факториалов: $\frac{P_4}{P_5} = \frac{4!}{5!} = \frac{1}{5}$$$\frac{P_4}{P_5} = \frac{4!}{5!}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Табыңыз: $\int (e^x + 2^x + 1)dx$
- 1
Найдите интеграл по частям: интеграл от суммы равен сумме интегралов.
- 2
Интеграл от $e^x$ равен $e^x$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Берілген функциялар: $f(x) = \sqrt{3x-1}$, $g(x) = \frac{x^2}{4} + 5x - 6$. $f(g(x))$ табыңыз.
- 1
Подставляем выражение g(x) в функцию f: f(g(x)) = sqrt(3 * g(x) - 1).$$f(g(x)) = \sqrt{3 \cdot g(x) - 1}$$
- 2
Подставляем g(x) = x^2/4 + 5x - 6: f(g(x)) = sqrt(3 * (x^2/4 + 5x - 6) - 1).$$f(g(x)) = \sqrt{3 \cdot \left(\frac{x^2}{4} + 5x - 6\right) - 1}$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Өрнекті ықшамдаңыз: $(2+\sqrt{6})(1-3\sqrt{6}) \cdot 3\sqrt{6} + 48\sqrt{6}$
- 1
Умножу скобки: (2+√6)(1−3√6) = 2·1 + 2·(−3√6) + √6·1 + √6·(−3√6) = 2 − 6√6 + √6 − 3·6 = 2 − 6√6 + √6 − 18 = −16 − 5√6
- 2
Умножу на 3√6: (−16 − 5√6)·3√6 = −16·3√6 − 5√6·3√6 = −48√6 − 15·6 = −48√6 − 90
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Найдите угол В треугольника АВС, если А(1;1), В(4;1) и С(4;5)
- 1
Найдем координаты векторов AB и BC. Вектор AB = B - A = (4-1, 1-1) = (3, 0). Вектор BC = C - B = (4-4, 5-1) = (0, 4).
- 2
Скалярное произведение векторов AB и BC: (3)(0) + (0)(4) = 0.
Ещё 3 қадам — толық шешімде