Решение: Решите логарифмическое неравенство: log₂ x + logₓ 8 - 4 < 0
Решите логарифмическое неравенство: $\log_2 x + \log_x 8 - 4 < 0$
Решение по шагам
5 шаговОбласть допустимых значений: $x>0$, $x\neq1$. Обозначим $t=\log_2 x$ ($t\neq0$). Тогда $\log_x 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 x} = \frac{3}{t}$.
Неравенство становится $t + \frac{3}{t} - 4 < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{t^2-4t+3}{t} < 0$ $\Rightarrow$ $\frac{(t-1)(t-3)}{t} < 0$.
Исследуем знак выражения на интервалах, определённых точками $t=0,1,3$: $t<0$ – отрицательно; $0<t<1$ – положительно; $1<t<3$ – отрицательно; $t>3$ – положительно. Значит неравенство выполняется при $t<0$ или $1<t<3$.
Переходим обратно к $x$: $t<0$ $\Leftrightarrow$ $\log_2 x <0$ $\Leftrightarrow$ $0<x<1$; $1<t<3$ $\Leftrightarrow$ $1<\log_2 x <3$ $\Leftrightarrow$ $2<x<8$.
Объединяя интервалы получаем решение $(0;1)\cup(2;8)$, что соответствует варианту D.
Где здесь ошибаются
Забыли исключить $x=1$ из области допустимых значений.
При умножении неравенства на $t$ не учли изменение знака при $t<0$.
Путаница при преобразовании $\log_x 8$ (например, приняли его за $\frac{t}{3}$).