Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Вероятность выступления из Китая

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 15 из России, 18 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Китая:$$50 - 15 - 18 = 17$$
2. 2
   Вероятность того, что первой выступит спортсменка из Китая, равна отношению числа спортсменок из Китая к общему числу спортсменок:$$P = \dfrac{17}{50} = 0{,}34$$

Вероятность хорошей ручки

Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или вовсе не пишет, равна 0,11. Покупатель, не глядя, берёт одну шариковую ручку из коробки. Найдите вероятность того, что эта ручка пишет…

1. 1
   Событие «ручка пишет хорошо» является противоположным событию «ручка пишет плохо или вовсе не пишет».$$P(\text{хорошо}) = 1 - P(\text{плохо или не пишет})$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\text{хорошо}) = 1 - 0{,}11 = 0{,}89$$

Вероятность выбора билета

В сборнике билетов по физике всего 40 билетов, в 6 из них встречается вопрос по теме «Термодинамика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Благоприятными являются 6 билетов из 40 возможных.$$P = \dfrac{6}{40}$$
2. 2
   Вычислим значение вероятности:$$P = \dfrac{6}{40} = 0{,}15$$

Вероятность выступления шведки

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 15 из Норвегии, 18 из Дании, остальные — из Швеции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Найдём число спортсменок из Швеции:$$50 - 15 - 18 = 17$$
2. 2
   Так как порядок выступления определяется случайно, вероятность того, что первой выступит спортсменка из Швеции, равна отношению числа шведских спортсменок к общему числу участниц:$$P = \frac{17}{50} = 0{,}34$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 20 чашек: 8 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Количество чашек с синими цветами равно разности общего числа чашек и числа чашек с красными цветами.$$20 - 8 = 12$$
2. 2
   Вероятность случайно выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек.$$P = \dfrac{12}{20} = 0.6$$

Вероятность выученного билета

На экзамене будет 60 билетов, Олег не выучил 12 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Найдём количество выученных билетов:$$60 - 12 = 48$$
2. 2
   Вероятность того, что попадётся выученный билет, равна отношению числа выученных билетов к общему числу билетов:$$P = \dfrac{48}{60} = 0{,}8$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 20 чашек: 9 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$20 - 9 = 11$$
2. 2
   Все 20 чашек равновероятны, поэтому вероятность выбрать синюю чашку равна:$$P = \dfrac{11}{20} = 0{,}55$$

Вероятность выбора автомобиля

В фирме такси в наличии 15 легковых автомобилей: 3 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов…

1. 1
   Определим количество автомобилей жёлтого цвета с чёрными надписями:$$15 - 3 = 12$$
2. 2
   Вероятность случайного выбора такого автомобиля равна отношению числа подходящих автомобилей к общему числу автомобилей:$$P = \dfrac{12}{15} = 0{,}8$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 25 чашек: 7 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$25 - 7 = 18$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{18}{25} = 0{,}72$$

Вероятность выученного билета

На экзамене будет 20 билетов, Слава не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Определим число выученных билетов:$$20 - 4 = 16$$
2. 2
   Найдём вероятность того, что попадётся выученный билет:$$P = \dfrac{16}{20} = 0{,}8$$

Вероятность одной из тем

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос…

1. 1
   События «вопрос по теме “Тригонометрия”» и «вопрос по теме “Внешние углы”» несовместны, поэтому вероятность их объединения равна сумме вероятностей.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Подставим данные из условия:$$P(A \cup B) = 0{,}25 + 0{,}1 = 0{,}35$$

Вероятность выбрать гуся

На птицеферме есть только куры и гуси, причём кур в 39 раз больше, чем гусей. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме птица окажется гусем.

1. 1
   Пусть на ферме $x$ гусей. Тогда кур в 39 раз больше, то есть $39x$.$$N_{\text{кур}} = 39x$$
2. 2
   Общее количество птиц равно сумме количества кур и гусей.$$N_{\text{всего}} = x + 39x = 40x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора туриста

В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы…

1. 1
   Из 8 туристов выбирают 6, поэтому вероятность того, что конкретный турист Д. будет выбран, равна отношению числа выбранных туристов к общему числу туристов.$$P = \dfrac{6}{8}$$
2. 2
   Вычислим значение вероятности и запишем его в виде десятичной дроби.$$P = \dfrac{6}{8} = 0{,}75$$

Вероятность выбора шведки

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 16 из Норвегии, 15 из Дании, остальные — из Швеции. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Швеции:$$50 - 16 - 15 = 19$$
2. 2
   Каждая спортсменка с одинаковой вероятностью может выступать первой. Поэтому вероятность того, что первой окажется спортсменка из Швеции, равна:$$P = \dfrac{19}{50} = 0{,}38$$

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Миши было четыре конфеты — «Ласточка», «Грильяж», «Маска» и «Красная шапочка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите…

1. 1
   Всего у Миши было четыре конфеты, и каждая из них могла выпасть с одинаковой вероятностью.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятный исход только один — выпадение конфеты «Грильяж».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность попасть в запасную аудиторию

На олимпиаде по химии 400 участников собираются разместить в трёх аудиториях: в первых двух аудиториях — по 140 человек, оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите вероятность того…

1. 1
   Определим количество участников, которых разместят в запасной аудитории:$$400 - 2 \cdot 140 = 120$$
2. 2
   Вероятность попадания случайно выбранного участника в запасную аудиторию равна отношению числа участников в этой аудитории к общему числу участников:$$P = \dfrac{120}{400} = 0{,}3$$

Вероятность выбора билета

В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 9 из них встречается вопрос по теме «Круглые черви». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Число благоприятных исходов равно 9, а общее число исходов — 25.$$P = \dfrac{9}{25}$$
2. 2
   Вычисляем вероятность:$$\dfrac{9}{25} = 0{,}36$$

Вероятность доклада в день

Научная конференция проводится в 3 дня. Всего запланировано 50 докладов: в первый день — 18 докладов, остальные доклады распределены поровну между вторым и третьим днями. На конференции планируется…

1. 1
   Найдём количество докладов, запланированных на второй и третий дни:$$50 - 18 = 32$$
2. 2
   Так как доклады распределены поровну, на третий день запланировано:$$32 : 2 = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выпадения орла

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

1. 1
   Противоположное событие — орёл не выпал ни разу, то есть оба раза выпала решка.$$P(\text{решка дважды}) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 0{,}25$$
2. 2
   Искомая вероятность равна единице минус вероятность противоположного события.$$P = 1 - 0{,}25 = 0{,}75$$

Вероятность противоположного события

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,92. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Событие, при котором стекло не разобьётся, противоположно событию, при котором оно разобьётся.$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}92 = 0{,}08$$