Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Вероятность выбора билета

В сборнике билетов по истории всего 50 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме «Великая Отечественная Война». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 50, а число билетов с вопросом по нужной теме равно 18.$$n = 50,\quad m = 18$$
2. 2
   Находим вероятность как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{18}{50} = 0{,}36$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 20 чашек: 12 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$20 - 12 = 8$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{8}{20} = 0{,}4$$

Вероятность выступления китайца

На чемпионате по прыжкам в воду выступает 25 спортсменов, среди них 6 спортсменов из России и 8 спортсменов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Первым может выступить любой из 25 спортсменов, поэтому общее число равновероятных исходов равно 25.$$n = 25$$
2. 2
   Благоприятными являются 8 исходов — первыми выступают спортсмены из Китая.$$m = 8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления итальянки

В чемпионате по гимнастике участвуют 60 спортсменок: 23 из Испании, 16 из Португалии, остальные — из Италии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Италии:$$60 - 23 - 16 = 21$$
2. 2
   Вероятность того, что первой выступит спортсменка из Италии, равна отношению числа итальянских спортсменок к общему числу участниц:$$P = \dfrac{21}{60} = 0{,}35$$

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,02 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность того, что оба автомата неисправны, равна произведению вероятностей.$$P = 0{,}02 \cdot 0{,}02$$
2. 2
   Выполним умножение:$$P = 0{,}0004$$

Вероятность выбора Коли

Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Коля.

1. 1
   В жребии участвуют четыре человека, и каждый имеет одинаковую вероятность начать игру.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятен один исход — первым начинает Коля.$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность последнего спортсмена

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 7 спортсменов из Хорватии и 5 спортсменов из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены…

1. 1
   Определим общее число спортсменов:$$4+9+7+5=25$$
2. 2
   Каждый спортсмен имеет одинаковую вероятность выступать последним. Благоприятных исходов 4 — это спортсмены из Македонии.$$P=\dfrac{4}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность спортсменки из Словении

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 21 из Сербии, 14 из Хорватии, остальные — из Словении. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того…

1. 1
   Найдём число спортсменок из Словении:$$50 - 21 - 14 = 15$$
2. 2
   Все спортсменки равновероятно могут выступить первыми. Поэтому вероятность равна отношению числа спортсменок из Словении к общему числу участниц:$$P = \dfrac{15}{50} = 0{,}3$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 20 чашек: 4 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$20 - 4 = 16$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{16}{20} = 0{,}8$$

Вероятность неисправных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,6. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся…

1. 1
   События, состоящие в неисправности первой и второй батареек, считаем независимыми.$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
2. 2
   Подставим вероятность неисправности одной батарейки:$$P = 0{,}6 \cdot 0{,}6 = 0{,}36$$

Вероятность объединения событий

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,1. Вероятность того, что это…

1. 1
   События «вопрос по теме “Вписанная окружность”» и «вопрос по теме “Тригонометрия”» несовместны, поэтому вероятность того, что произойдёт одно из них, равна сумме их вероятностей.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Подставим значения из условия:$$P(A \cup B) = 0{,}1 + 0{,}35 = 0{,}45$$

Вероятность выбора автомобиля

В фирме такси в наличии 20 легковых автомобилей: 7 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов…

1. 1
   Найдём число автомобилей жёлтого цвета с чёрными надписями:$$20 - 7 = 13$$
2. 2
   Вероятность случайного выбора такого автомобиля равна отношению числа подходящих автомобилей к общему числу автомобилей:$$P = \dfrac{13}{20} = 0{,}65$$

Вероятность двух неисправных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,15. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся…

1. 1
   События, состоящие в неисправности первой и второй батареек, считаем независимыми.$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$$
2. 2
   Вероятность неисправности каждой батарейки равна $0{,}15$, поэтому вероятность неисправности обеих батареек равна:$$P=0{,}15\cdot 0{,}15=0{,}0225$$

Вероятность выученного билета

На экзамене будет 20 билетов, Саша не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Определим число выученных билетов:$$20 - 2 = 18$$
2. 2
   Вероятность попадания выученного билета равна отношению числа выученных билетов к общему числу билетов:$$P = \dfrac{18}{20} = 0{,}9$$

Вероятность бездефектной сумки

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 300 сумок, поступивших в продажу, 18 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без скрытого дефекта.

1. 1
   Найдём число сумок без скрытого дефекта:$$300 - 18 = 282$$
2. 2
   Разделим число сумок без дефекта на общее число сумок:$$P = \dfrac{282}{300} = 0{,}94$$

Вероятность исправного насоса

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекает. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Вероятность выбрать подтекающий насос равна отношению числа подтекающих насосов к общему числу насосов.$$P(\text{подтекает}) = \dfrac{14}{1400} = 0{,}01$$
2. 2
   Событие «насос не подтекает» является противоположным событию «насос подтекает».$$P(\text{не подтекает}) = 1 - 0{,}01 = 0{,}99$$

Вероятность объединения событий

В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения, которого нет в меню. Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут миндальное печенье, равна 0,1…

1. 1
   Посетителю приносят только один комплимент, поэтому события «принесли миндальное печенье» и «принесли мороженое» несовместны.
2. 2
   Для несовместных событий складываем вероятности:$$P=0{,}1+0{,}2=0{,}3$$

Вероятность противоположного события

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,74. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Событие, при котором стекло не разобьётся, является противоположным событию, при котором стекло разобьётся.$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}74 = 0{,}26$$

Вероятность исправного монитора

Из 500 мониторов, поступивших в продажу, в среднем 15 не работают. Какова вероятность того, что случайно выбранный монитор работает?

1. 1
   Найдём количество работающих мониторов:$$500 - 15 = 485$$
2. 2
   Вероятность выбрать работающий монитор равна отношению числа работающих мониторов к общему числу мониторов:$$P = \dfrac{485}{500} = 0{,}97$$

Вероятность вопроса по теме

В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме «Реки и озёра». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Общее число равновозможных билетов равно 25, а благоприятных билетов — 14.$$P = \dfrac{m}{n}$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим вероятность:$$P = \dfrac{14}{25} = 0.56$$