Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Вероятность спортсмена из Швеции

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 спортсменов из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены…

1. 1
   Найдём общее число спортсменов:$$4+7+9+5=25$$
2. 2
   Благоприятных исходов 9: последним может выступить любой из 9 спортсменов из Швеции.$$P=\dfrac{9}{25}=0{,}36$$

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Саши было четыре конфеты — «Грильяж», «Взлётная», «Коровка» и «Мишка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Саша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того…

1. 1
   Всего в кармане было четыре конфеты, и любая из них могла выпасть.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятным является только один исход — выпадение конфеты «Взлётная».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления первой

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 19 из России, 24 из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Китая:$$50 - 19 - 24 = 7$$
2. 2
   Вероятность того, что первой выступит спортсменка из Китая, равна отношению числа спортсменок из Китая к общему числу участниц:$$P = \dfrac{7}{50} = 0{,}14$$

Вероятность одной из тем

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по…

1. 1
   События «вопрос по теме “Тригонометрия”» и «вопрос по теме “Вписанная окружность”» несовместны, так как нет вопросов, относящихся одновременно к обеим темам.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Складываем данные вероятности:$$P(A \cup B) = 0{,}3 + 0{,}25 = 0{,}55$$

Вероятность удобного места

На борту самолёта 23 места рядом с запасными выходами и 22 места за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Л. высокого роста. Найдите…

1. 1
   Удобными для пассажира высокого роста являются места рядом с запасными выходами и места за перегородками.$$m = 23 + 22 = 45$$
2. 2
   Используем классическое определение вероятности: вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{45}{300} = 0{,}15$$

Вероятность протечки насоса

В среднем из 200 садовых насосов, поступивших в продажу, 20 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает.

1. 1
   Общее число насосов равно 200, из них 20 подтекают.
2. 2
   Вероятность выбрать подтекающий насос равна отношению числа подтекающих насосов к общему числу насосов.$$P = \dfrac{20}{200} = 0{,}1$$

Вероятность небитья стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,78. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   События «стекло разобьётся» и «стекло не разобьётся» являются противоположными, поэтому сумма их вероятностей равна 1.$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}78 = 0{,}22$$

Вероятность выступления в день

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано…

1. 1
   После первого дня остаётся 48 выступлений. Они поровну распределены между четырьмя оставшимися днями.$$80 - 32 = 48$$
2. 2
   На третий день запланировано 12 выступлений.$$48 : 4 = 12$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выступления по дням

Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 50 выступлений — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано…

1. 1
   После первого дня остаётся $50-18=32$ выступления. Они поровну распределены между четырьмя днями.$$32:4=8$$
2. 2
   В третий день запланировано 8 выступлений. Так как порядок выступлений определяется жеребьёвкой, вероятность участия исполнителя из России в третий день равна отношению числа выступлений в этот день к общему числу выступлений.$$P=\dfrac{8}{50}=0{,}16$$

Вероятность второй группы

В чемпионате мира участвуют 20 команд, среди которых есть команда Китая. С помощью жеребьёвки их нужно разделить на пять групп, по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с…

1. 1
   Всего в ящике 20 карточек, из них 4 карточки имеют номер 2.$$n = 20,\quad m = 4$$
2. 2
   Вероятность того, что команда Китая вытянет карточку с номером 2, равна отношению числа благоприятных исходов к числу всех исходов.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{4}{20} = 0{,}2$$

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,2 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность того, что оба автомата неисправны, равна произведению вероятностей.$$P = 0{,}2 \cdot 0{,}2$$
2. 2
   Вычислим произведение:$$P = 0{,}04$$

Вероятность скрытого дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 120 сумок, поступивших в продажу, 6 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется со скрытым дефектом.

1. 1
   Общее число сумок равно 120, число сумок со скрытым дефектом — 6.
2. 2
   Вероятность случайно выбрать сумку со скрытым дефектом равна отношению числа дефектных сумок к общему числу сумок.$$P = \dfrac{6}{120} = 0{,}05$$

Вероятность вопроса по теме

В сборнике билетов по физике всего 25 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме «Термодинамика». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 25, а число билетов с вопросом по теме «Термодинамика» равно 11.$$n = 25,\quad m = 11$$
2. 2
   Находим вероятность как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{11}{25} = 0{,}44$$

Вероятность удобного места

На борту самолёта 15 мест расположены рядом с запасными выходами и 20 мест — за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир К. высокого роста…

1. 1
   Определим число удобных мест: к местам рядом с запасными выходами добавим места за перегородками.$$15 + 20 = 35$$
2. 2
   Вероятность случайно получить удобное место равна отношению числа удобных мест к общему числу мест в самолёте.$$P = \dfrac{35}{250} = 0{,}14$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 25 чашек: 2 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает внуку чай в случайно взятую чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$25 - 2 = 23$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{23}{25} = 0{,}92$$

Вероятность протечки насоса

В среднем из 300 садовых насосов, поступивших в продажу, 45 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает.

1. 1
   Число благоприятных исходов равно 45, а общее число возможных исходов равно 300.$$m = 45,\quad n = 300$$
2. 2
   Вычислим вероятность того, что выбранный насос подтекает:$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{45}{300} = 0{,}15$$

Вероятность вопроса по теме

В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 20 из них встречается вопрос по теме «Реки и озёра». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Число благоприятных исходов равно 20, а общее число возможных исходов равно 25.$$m = 20,\quad n = 25$$
2. 2
   Находим вероятность события.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{20}{25} = 0{,}8$$

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите…

1. 1
   Всего у Дани было 5 конфет, и каждая из них могла выпасть с одинаковой вероятностью.$$n = 5$$
2. 2
   Благоприятный исход только один — выпадение конфеты «Взлётная».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность скрытого дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 200 сумок, поступивших в продажу, 6 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется со скрытым дефектом.

1. 1
   Число благоприятных исходов равно 6, а общее число возможных исходов равно 200.$$P = \dfrac{6}{200}$$
2. 2
   Вычислим вероятность случайного выбора сумки со скрытым дефектом.$$P = 0{,}03$$

Вероятность выбора автомобиля

В фирме такси в наличии 15 легковых автомобилей: 9 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов…

1. 1
   Количество жёлтых автомобилей с чёрными надписями равно разности общего числа автомобилей и числа чёрных автомобилей:$$15 - 9 = 6$$
2. 2
   Вероятность случайного выбора такой машины равна отношению числа подходящих машин к общему числу машин:$$P = \dfrac{6}{15} = 0{,}4$$