Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Теория вероятностей» — с ответами

Возрастные отношения девочек

Маша младше Алисы на год, но старше Кати на два года. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. 1
   Так как Маша старше Кати на два года, Катя младше Маши.
2. 2
   Так как Маша младше Алисы на один год, Алиса старше Маши.

Ещё 4 шага — в полном решении

Шарики с рисунками

Тане на день рождения подарили 15 шариков, 8 из которых жёлтые, а остальные зелёные. Таня на трёх случайных шариках нарисовала рисунки маркером, чтобы подарить маме, папе и брату. Выберите все…

1. 1
   Зелёных шариков было $15 - 8 = 7$. Рисунки нанесены только на 3 шарика, поэтому как минимум $7 - 3 = 4$ зелёных шарика остались без рисунков. Следовательно, утверждение 1 верно.$$7 - 3 = 4 \geq 2$$
2. 2
   Всего рисунков 3, поэтому жёлтых шариков с рисунками не может быть 5. Утверждение 2 верно.$$n_{\text{жёлтых с рисунками}} \leq 3 < 5$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $6 \times 6$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 30 пар соседних клеток разного цвета и 16 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   В каждой из 6 строк есть 5 горизонтальных пар соседних клеток, а в каждом из 6 столбцов — 5 вертикальных пар.$$6 \cdot 5 + 6 \cdot 5 = 60$$
2. 2
   Общее количество пар соседних клеток состоит из пар разного цвета, пар чёрного цвета и пар белого цвета.$$60 = 30 + 16 + x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Распил палки по линиям

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым — 7 кусков, а если по зелёным — 11 кусков. Сколько…

1. 1
   При распиле по красным линиям образуется 5 кусков, значит, красных линий $5 - 1 = 4$.
2. 2
   Аналогично, жёлтых линий $7 - 1 = 6$, зелёных линий $11 - 1 = 10$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Пары соседних клеток

Клетки таблицы $4 \times 7$ раскрашены в чёрный и белый цвета так, что получилось 26 пар соседних клеток разного цвета и 9 пар соседних клеток чёрного цвета. Клетки считаются соседними, если у них…

1. 1
   Число горизонтальных пар соседних клеток равно $4 \cdot 6 = 24$, а число вертикальных пар — $7 \cdot 3 = 21$.$$N = 4 \cdot (7 - 1) + 7 \cdot (4 - 1) = 24 + 21 = 45$$
2. 2
   Все пары соседних клеток делятся на пары разного цвета, пары чёрных клеток и пары белых клеток.$$N_{\text{белых}} = 45 - 26 - 9 = 10$$

Подсчёт проводов между столбами

Восемь столбов соединены между собой проводами так, что от каждого столба отходит ровно 7 проводов. Сколько всего проводов протянуто между этими восемью столбами?

1. 1
   Если посчитать все провода, отходящие от столбов, каждый провод будет учтён два раза — по одному разу у каждого из двух соединённых столбов.$$8 \cdot 7$$
2. 2
   Делим полученную сумму на два, чтобы получить число проводов.$$\dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

Количество кусков палки

На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цветов. Если распилить палку по красным линиям, получится 8 кусков, если по жёлтым — 12 кусков, а если по зелёным — 6 кусков. Сколько…

1. 1
   Число линий каждого цвета на одну меньше числа получившихся кусков.$$8-1=7,\quad 12-1=11,\quad 6-1=5$$
2. 2
   Всего линий трёх цветов:$$7+11+5=23$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Дружба мальчиков и девочек

В классе 24 ученика. Каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, а каждая девочка — с двумя мальчиками. Сколько мальчиков учится в этом классе?

1. 1
   Пусть в классе $x$ мальчиков. Тогда девочек $24-x$.
2. 2
   Посчитаем количество пар дружбы между мальчиками и девочками двумя способами. По условию каждый мальчик дружит с четырьмя девочками, поэтому таких пар $4x$. Каждая девочка дружит с двумя мальчиками, поэтому таких пар $2(24-x)$.$$4x = 2(24-x)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность вопроса по геометрии

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 9 из них встречается вопрос по теме «Геометрия». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется…

1. 1
   Общее число возможных билетов равно 20, а число билетов с вопросом по геометрии — 9.$$n = 20,\quad m = 9$$
2. 2
   По классическому определению вероятности найдём отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P = \dfrac{m}{n} = \dfrac{9}{20} = 0{,}45$$

Вероятность выбора гимнастки

В чемпионате по гимнастике участвуют 40 спортсменок: 12 из Великобритании, 16 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность…

1. 1
   Найдём количество спортсменок из Германии:$$40 - 12 - 16 = 12$$
2. 2
   Так как порядок выступления определяется случайно, вероятность того, что первой выступит спортсменка из Германии, равна отношению числа спортсменок из Германии к общему числу участниц:$$P = \dfrac{12}{40} = 0{,}3$$