Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Степени корни логарифмы» — с ответами

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $8{,}7 \cdot 10^3 + 7{,}5 \cdot 10^2$.

1. 1
   Заменим степени десяти их значениями:$$10^3 = 1000,\quad 10^2 = 100$$
2. 2
   Вычислим произведения:$$8{,}7 \cdot 1000 = 8700,\quad 7{,}5 \cdot 100 = 750$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $45 \cdot 10 - 1{,}2 \cdot 10^2$.

1. 1
   Вычислим степень десяти:$$10^2 = 100$$
2. 2
   Выполним умножение:$$45 \cdot 10 = 450, \quad 1{,}2 \cdot 100 = 120$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $\left(\sqrt{17}-3\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{17}+3\sqrt{2}\right)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов:$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$\left(\sqrt{17}\right)^2-\left(3\sqrt{2}\right)^2=17-9\cdot2=17-18=-1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{2^{-6} \cdot 2^6}{2^{-8}}$.

1. 1
   Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием в числителе.$$2^{-6} \cdot 2^6 = 2^{-6+6} = 2^0 = 1$$
2. 2
   Разделим единицу на степень с отрицательным показателем.$$\dfrac{1}{2^{-8}} = 2^8$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение отношения корней

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{175}}{\sqrt{7}}$.

1. 1
   Разложим число $175$ на множители $25$ и $7$.$$175=25\cdot 7$$
2. 2
   Преобразуем отношение корней и сократим общий множитель $\sqrt{7}$.$$\dfrac{\sqrt{175}}{\sqrt{7}}=\dfrac{\sqrt{25\cdot 7}}{\sqrt{7}}=\sqrt{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычисление значения выражения

Найдите значение выражения $\left(2\frac{4}{5}-2\frac{3}{8}\right)\cdot16$.

1. 1
   Преобразуем смешанные числа в десятичные дроби:$$2\frac{4}{5}=2{,}8,\qquad 2\frac{3}{8}=2{,}375$$
2. 2
   Вычислим разность:$$2{,}8-2{,}375=0{,}425$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{0{,}8 \cdot 10^{-1}}{4 \cdot 10^2}$.

1. 1
   Вычислим числитель и знаменатель:$$0{,}8 \cdot 10^{-1}=0{,}08, \qquad 4 \cdot 10^2=400$$
2. 2
   Разделим полученные значения:$$\dfrac{0{,}08}{400}=0{,}0002$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{13}{7} : \dfrac{26}{35} - 1{,}5$.

1. 1
   Заменяем деление умножением на обратную дробь:$$\dfrac{13}{7} : \dfrac{26}{35} = \dfrac{13}{7} \cdot \dfrac{35}{26}$$
2. 2
   Сокращаем дробь и вычисляем результат деления:$$\dfrac{13}{7} \cdot \dfrac{35}{26} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Произведение сопряжённых выражений

Найдите значение выражения $(\sqrt{10}-2\sqrt{3})(\sqrt{10}+2\sqrt{3})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов к произведению сопряжённых выражений.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и вычислим:$$(\sqrt{10}-2\sqrt{3})(\sqrt{10}+2\sqrt{3})=(\sqrt{10})^2-(2\sqrt{3})^2=10-12=-2$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $4{,}2 \cdot 4{,}5 : 0{,}7$.

1. 1
   Выполним умножение:$$4{,}2 \cdot 4{,}5 = 18{,}9$$
2. 2
   Разделим полученный результат на $0{,}7$:$$18{,}9 : 0{,}7 = 27$$

Умножение степеней десяти

Найдите значение выражения $(6 \cdot 10^{-1}) \cdot (1{,}5 \cdot 10^4)$.

1. 1
   Перемножим коэффициенты и степени десяти:$$(6 \cdot 1{,}5) \cdot 10^{-1+4}$$
2. 2
   Вычислим полученное выражение:$$9 \cdot 10^3 = 9000$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{2^6 \cdot 3^2}$.

1. 1
   Представим степени под корнем как квадраты:$$2^6 \cdot 3^2 = (2^3)^2 \cdot 3^2$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень:$$\sqrt{(2^3)^2 \cdot 3^2} = 2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{\log_7(11^8)}{2\log_7 11}$.

1. 1
   Применим свойство логарифма степени к числителю:$$\log_7(11^8)=8\log_7 11$$
2. 2
   Подставим полученное выражение и сократим ненулевой множитель $\log_7 11$:$$\dfrac{\log_7(11^8)}{2\log_7 11}=\dfrac{8\log_7 11}{2\log_7 11}=4$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(0{,}1)^2}{10^{-2}} \cdot 10^2$.

1. 1
   Представим число $0{,}1$ в виде степени десяти и возведём в квадрат.$$(0{,}1)^2 = (10^{-1})^2 = 10^{-2}$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение.$$\dfrac{10^{-2}}{10^{-2}} \cdot 10^2 = 1 \cdot 10^2 = 100$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{7}588 - \log_{7}12$.

1. 1
   Применяем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием:$$\log_{7}588 - \log_{7}12 = \log_{7}\left(\frac{588}{12}\right)$$
2. 2
   Вычисляем частное и представляем его в виде степени семёрки:$$\log_{7}49 = \log_{7}(7^2) = 2$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{1}{4} \cdot 4{,}8 - 1$.

1. 1
   Выполним умножение числа $4{,}8$ на $\dfrac{1}{4}$:$$\dfrac{1}{4} \cdot 4{,}8 = 1{,}2$$
2. 2
   Вычтем единицу:$$1{,}2 - 1 = 0{,}2$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{(8\sqrt{2})^2}{16}$.

1. 1
   Возведём произведение в квадрат и заменим квадрат корня на подкоренное выражение.$$(8\sqrt{2})^2=8^2\cdot(\sqrt{2})^2=64\cdot2=128$$
2. 2
   Разделим полученное значение на $16$.$$\dfrac{128}{16}=8$$

Преобразование выражения с корнем

Найдите значение выражения $(2\sqrt{11}-1)(2\sqrt{11}+1)$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим значения и упростим выражение.$$(2\sqrt{11}-1)(2\sqrt{11}+1)=(2\sqrt{11})^2-1^2=4\cdot11-1=43$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $6^3 + \log_6 2$.

1. 1
   Вычисляем значение степени:$$6^3 = 216$$
2. 2
   Подставляем значение степени и выполняем преобразование выражения:$$6^3 + \log_6 2 = 432$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $\log_{3}(\log_{2}16 - 1)$.

1. 1
   Представим число $16$ в виде степени основания внутреннего логарифма:$$16 = 2^4$$
2. 2
   Вычислим внутренний логарифм:$$\log_{2}16 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении