Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Расчёт кинетической энергии

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите $E$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу $E = \dfrac{mv^2}{2}$ значения $m = 12$ и $v = 3$.$$E = \dfrac{12 \cdot 3^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{12 \cdot 9}{2} = 54$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a=24$…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу радиуса:$$r=\dfrac{24+143-145}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$r=\dfrac{22}{2}=11$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значения стороны и синуса угла:$$R = \dfrac{8}{2 \cdot \frac{1}{7}}$$
2. 2
   Деление на $\dfrac{1}{7}$ заменяем умножением на $7$ и вычисляем:$$R = \dfrac{8 \cdot 7}{2} = 28$$

Степенная функция и логарифм

Найдите значение выражения $4^{-2\log_4 5}$.

1. 1
   Преобразуем степень, используя свойство степеней:$$4^{-2\log_4 5}=\left(4^{\log_4 5}\right)^{-2}$$
2. 2
   По определению логарифма $4^{\log_4 5}=5$.$$5^{-2}=\dfrac{1}{5^2}=\dfrac{1}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{8\sqrt{243}}{\sqrt{3}}$.

1. 1
   Разложим подкоренное выражение и выделим полный квадрат:$$243=81\cdot3$$
2. 2
   Преобразуем корень и сократим множитель $\sqrt{3}$:$$\dfrac{8\sqrt{243}}{\sqrt{3}}=\dfrac{8\sqrt{81}\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=8\cdot9=72$$

Скорость падающего камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим в формулу значения ускорения свободного падения и высоты:$$v = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 40}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем и извлечём квадратный корень:$$v = \sqrt{784} = 28$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{2}$, $8$ и $9$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q=\sqrt{\dfrac{(\sqrt{2})^2+8^2+9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим квадраты чисел:$$(\sqrt{2})^2+8^2+9^2=2+64+81=147$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт количества теплоты

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $c$ — удельная теплоёмкость тела (в…

1. 1
   Находим изменение температуры тела:$$t_2 - t_1 = 657 - 653 = 4\ \text{К}$$
2. 2
   Подставляем значения в формулу количества теплоты:$$Q = cm(t_2 - t_1) = 500 \cdot 4 \cdot 4 = 8000\ \text{Дж}$$

Площадь треугольника по Герону

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 10…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{10+24+26}{2} = 30$$
2. 2
   Применим формулу Герона:$$S = \sqrt{30(30-10)(30-24)(30-26)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по радиусу

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$S = \dfrac{11 \cdot 25 \cdot 30}{4 \cdot \frac{125}{8}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби:$$S = \dfrac{8250}{\frac{500}{8}} = \dfrac{8250}{62{,}5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина медианы треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите длину медианы $m_c$, если…

1. 1
   Подставим данные в формулу медианы:$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 4^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$2 \cdot 3^2 + 2 \cdot (\sqrt{7})^2 - 4^2 = 18 + 14 - 16 = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\text{м/с}^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\text{с}^{-1}$), а $R$ — радиус…

1. 1
   Подставим в формулу $a = \omega^2 R$ значения $\omega = 11$ и $R = 5$.$$a = 11^2 \cdot 5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$a = 121 \cdot 5 = 605$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\bigl((a+b)^2-c^2\bigr)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Вычислим необходимые выражения:$$a+b=3+9=12,\quad ab=3\cdot 9=27,\quad c^2=(4\sqrt{6})^2=96$$
2. 2
   Подставим найденные значения в формулу:$$l_c=\frac{1}{12}\sqrt{27\bigl(12^2-96\bigr)}=\frac{1}{12}\sqrt{27\cdot48}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a + b - c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если…

1. 1
   Подставим значения $a = 19$, $b = 180$ и $c = 181$ в формулу радиуса.$$r = \dfrac{19 + 180 - 181}{2}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$r = \dfrac{18}{2} = 9$$

Среднее квадратичное чисел

Среднее квадратичное трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $q = \sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}$. Найдите среднее квадратичное чисел $\sqrt{11}$, $4$ и $9$.

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего квадратичного:$$q = \sqrt{\dfrac{(\sqrt{11})^2+4^2+9^2}{3}}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем:$$q = \sqrt{\dfrac{11+16+81}{3}} = \sqrt{36}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h = \left(\dfrac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{3}$…

1. 1
   Подставим числа в формулу среднего гармонического.$$h = \left(\dfrac{\frac{1}{\frac{1}{3}} + \frac{1}{\frac{1}{5}} + \frac{1}{\frac{1}{7}}}{3}\right)^{-1}$$
2. 2
   Вычислим обратные величины и среднее арифметическое полученных чисел.$$h = \left(\dfrac{3 + 5 + 7}{3}\right)^{-1} = 5^{-1} = \dfrac{1}{5}$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 5$…

1. 1
   Подставим значения сторон в формулу медианы.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 5^2 + 2 \cdot (3\sqrt{3})^2 - 10^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем.$$2 \cdot 25 + 2 \cdot 27 - 100 = 4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры по шкалам

Перевести температуру из шкалы Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \frac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_F = 95$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \frac{5}{9}(95 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_C = \frac{5}{9} \cdot 63 = 35$$

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Вычислим необходимые значения:$$a+b=8+12=20,\quad ab=8\cdot12=96,\quad c^2=(5\sqrt{10})^2=250$$
2. 2
   Подставим полученные значения в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{20}\sqrt{96\left(20^2-250\right)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Нахождение сопротивления тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если $P = 144$…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения мощности и силы тока.$$R = \dfrac{144}{6^2} = \dfrac{144}{36} = 4$$