Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Кинетическая энергия тела

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в м/с). Пользуясь этой формулой, найдите $E$ (в…

1. 1
   Подставим в формулу значения $m = 9$ и $v = 4$.$$E = \dfrac{9 \cdot 4^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{9 \cdot 16}{2} = 72$$

Нахождение массы по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в $\text{м/с}^2$), с которым движется тело…

1. 1
   Из формулы $F = ma$ выразим массу:$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения:$$m = \dfrac{319}{29} = 11\ \text{кг}$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 23$ в формулу перевода температуры.$$t_F = 1{,}8 \cdot 23 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$t_F = 41{,}4 + 32 = 73{,}4$$

Перевод температуры по формуле

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим значение температуры по шкале Цельсия в формулу.$$t_F = 1{,}8 \cdot 29 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$t_F = 52{,}2 + 32 = 84{,}2$$

Применение теоремы синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против этих сторон…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим сторону $a$.$$a = b \cdot \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$a = 6 \cdot \frac{1/12}{1/8} = 6 \cdot \frac{8}{12} = 4$$

Найдите сопротивление по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если $P = 144$…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения мощности и силы тока.$$R = \dfrac{144}{4^2} = \dfrac{144}{16} = 9$$

Косинус угла треугольника

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \gamma = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу теоремы косинусов.$$\cos \gamma = \dfrac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos \gamma = \dfrac{25 + 36 - 49}{60} = \dfrac{12}{60}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в $\text{м}/\text{с}^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $\text{с}^{-1}$), а $R$…

1. 1
   Используем формулу ускорения при равномерном движении по окружности.$$a = \omega^2 R$$
2. 2
   Подставляем значения $\omega = 10\ \text{с}^{-1}$ и $R = 3{,}5\ \text{м}$:$$a = 10^2 \cdot 3{,}5 = 100 \cdot 3{,}5 = 350$$

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $r = \dfrac{a+b-c}{2}$, где $a$ и $b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $r$, если $a = 51$…

1. 1
   Подставим значения катетов и гипотенузы в данную формулу.$$r = \dfrac{51+140-149}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$r = \dfrac{42}{2} = 21$$

Площадь прямоугольника по диагонали

Площадь прямоугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d^2\sin\alpha}{2}$, где $d$ — длина диагонали, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$, если…

1. 1
   Подставим в формулу значения диагонали и синуса угла:$$S = \dfrac{4^2 \cdot \frac{1}{2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$S = \dfrac{16 \cdot \frac{1}{2}}{2} = 4$$

Расстояние по эхолокации

Эхолокация — это способ определения расстояния до объекта при помощи звуковой волны. В морской практике для определения расстояния до объекта в толще воды используют формулу $h = \dfrac{vt}{2}$, где…

1. 1
   Подставим в формулу значения скорости звука и времени распространения сигнала.$$h = \dfrac{1500 \cdot 3}{2}$$
2. 2
   Вычислим расстояние до объекта.$$h = \dfrac{4500}{2} = 2250$$

Скорость падения камня

Скорость камня (в м/с), падающего с высоты $h$ (в м), в момент удара о землю можно найти по формуле $v = \sqrt{2gh}$. Найдите скорость (в м/с), с которой ударится о землю камень, падающий с высоты…

1. 1
   Подставим в формулу значения ускорения свободного падения и высоты:$$v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 10}$$
2. 2
   Вычислим выражение под корнем и извлечём арифметический квадратный корень:$$v = \sqrt{196} = 14$$

Расчёт мощности тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если…

1. 1
   Подставим в формулу значения $I = 8{,}5$ и $R = 9$.$$P = 8{,}5^2 \cdot 9$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$P = 72{,}25 \cdot 9 = 650{,}25$$

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим $\sin \alpha$.$$\sin \alpha = \dfrac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin \alpha = \dfrac{4\cdot\frac{3}{8}}{5} = \dfrac{3}{10} = 0{,}3$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{(a+b+c)r}{2}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $r$ — радиус окружности, вписанной в этот треугольник. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $a$, $c$, $S$ и $r$:$$44\sqrt{3} = \dfrac{(11+b+14) \cdot 2\sqrt{3}}{2}$$
2. 2
   Упростим выражение в правой части:$$44\sqrt{3} = (25+b)\sqrt{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\bigl((a+b)^2-c^2\bigr)}$. Найдите биссектрису $l_c$…

1. 1
   Вычислим сумму сторон $a$ и $b$ и квадрат стороны $c$:$$a+b=5+20=25, \quad c^2=(10\sqrt{6})^2=600$$
2. 2
   Подставим значения в формулу:$$l_c=\frac{1}{25}\sqrt{5\cdot20\left(25^2-600\right)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры по формуле

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = -16$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot (-16) + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$t_F = -28{,}8 + 32 = 3{,}2$$

Медиана треугольника

Длина медианы $m_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $m_c = \dfrac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}$. Найдите медиану $m_c$, если $a = 4$…

1. 1
   Подставим значения $a = 4$, $b = \sqrt{10}$ и $c = 6$ в формулу.$$m_c = \dfrac{\sqrt{2 \cdot 4^2 + 2 \cdot (\sqrt{10})^2 - 6^2}}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение под корнем.$$2 \cdot 4^2 + 2 \cdot (\sqrt{10})^2 - 6^2 = 32 + 20 - 36 = 16$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим значения $q$ и $C$ в формулу энергии конденсатора.$$W = \frac{(0{,}0012)^2}{2 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = \frac{1{,}44 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 10^{-4}} = 0{,}0072$$

Синус угла по теореме синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin \alpha} = \dfrac{b}{\sin \beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Выразим синус угла $\alpha$ из теоремы синусов.$$\sin \alpha = \dfrac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{9\cdot\frac{1}{9}}{2} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$$