Задание 10 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 20,5 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 4,2 м, а длина — 5 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты…

1. 1
   Найдём площадь комнаты по результатам точных измерений.$$S = 4{,}2 \cdot 5 = 21\ \text{кв. м}$$
2. 2
   Вычислим, на сколько квадратных метров точная площадь отличается от площади на плане.$$21 - 20{,}5 = 0{,}5\ \text{кв. м}$$

Длина изгороди участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 35 м и 20 м. Хозяин планирует обнести его изгородью и отгородить такой же изгородью квадратный участок со стороной 10 м (см. рисунок). Найдите…

1. 1
   Вычислим длину изгороди вокруг прямоугольного участка:$$P=2(35+20)=110\text{ м}$$
2. 2
   Две стороны квадратного участка совпадают со сторонами внешнего прямоугольника, поэтому внутри участка нужно установить ещё две стороны квадрата:$$l=2\cdot10=20\text{ м}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна $2{,}8$ м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Высота горки изменяется линейно от нуля у основания до $h$ у вершины. В середине горки высота составляет половину полной высоты.$$l = \frac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \frac{2{,}8}{2} = 1{,}4$$

Угол между спицами

Колесо имеет 9 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Девять спиц делят полный угол вокруг центра колеса на девять равных углов.$$9\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Находим величину одного угла:$$\alpha = \frac{360^\circ}{9} = 40^\circ$$

Площадь окрашенной лестницы

Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 35 см, высота — 10 см, а ширина — 80…

1. 1
   Для каждой ступени окрашены горизонтальная и вертикальная поверхности. Их общая площадь равна:$$S_1 = 80 \cdot (35 + 10) = 3600\ \text{см}^2$$
2. 2
   Таких ступеней пять, поэтому площадь окрашенной поверхности равна:$$S = 5 \cdot 3600 = 18000\ \text{см}^2$$

Высота столба перил

Перила лестницы дачного дома для надёжности укреплены посередине вертикальным столбом. Найдите высоту $l$ этого столба, если наименьшая высота $h_1$ перил равна 1,85 м, а наибольшая высота $h_2$…

1. 1
   Поскольку столб установлен посередине, его высота равна среднему арифметическому наименьшей и наибольшей высот перил.$$l = \dfrac{h_1+h_2}{2}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$l = \dfrac{1{,}85+2{,}85}{2} = \dfrac{4{,}70}{2} = 2{,}35$$

Высота столба по проводу

От столба к дому натянут провод длиной 15 м, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рис.). Найдите высоту столба, если расстояние от дома до столба равно 12 м. Ответ дайте в…

1. 1
   Разность высоты столба $h$ и высоты крепления провода на доме образует вертикальный катет прямоугольного треугольника.$$h - 3$$
2. 2
   По теореме Пифагора для этого треугольника:$$(h - 3)^2 + 12^2 = 15^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина ограждения участка

Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 900 м и 400 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить…

1. 1
   Сторона длиной 900 м, проходящая вдоль моря, забором не ограждается.
2. 2
   Забор нужен для второй длинной стороны и двух коротких сторон:$$L = 900 + 2 \cdot 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Рост человека по длине тени

Человек стоит на расстоянии 7,6 м от столба, на котором висит фонарь, расположенный на высоте 6 м. Длина тени человека равна 3,8 м. Какого роста человек (в метрах)?

1. 1
   Рассмотрим большой треугольник с высотой фонаря 6 м и основанием от столба до конца тени, а также малый треугольник, образованный человеком и его тенью. Эти треугольники подобны.$$6 \text{ м},\quad 7{,}6+3{,}8=11{,}4 \text{ м}$$
2. 2
   Составим пропорцию для роста человека $h$ и длины его тени:$$\frac{h}{3{,}8}=\frac{6}{11{,}4}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь оставшейся части участка

Дачный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 30 м и 20 м. Хозяин отгородил на участке квадратный вольер со стороной 12 м (см. рисунок). Найдите площадь оставшейся части участка. Ответ…

1. 1
   Найдём площадь всего прямоугольного участка:$$S_1 = 30 \cdot 20 = 600\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь квадратного вольера:$$S_2 = 12^2 = 144\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли для строительства санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 1000 м и 500 м. Одна из больших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно огородить…

1. 1
   Забором нужно огородить одну большую сторону прямоугольника и две меньшие стороны.$$L = 1000 + 2 \cdot 500$$
2. 2
   Вычислим длину забора.$$L = 1000 + 1000 = 2000\ \text{м}$$

Ширина экрана ноутбука

Диагональ прямоугольного экрана ноутбука равна 30 см, а высота экрана — 18 см. Найдите ширину экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   Диагональ, высота и ширина экрана образуют прямоугольный треугольник. Обозначим ширину через $x$.$$x^2 + 18^2 = 30^2$$
2. 2
   Выразим ширину и вычислим её значение.$$x = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24$$

Высота экрана телевизора

Диагональ прямоугольного экрана телевизора равна 58 см, а ширина экрана — 42 см. Найдите высоту экрана. Ответ дайте в сантиметрах.

1. 1
   По теореме Пифагора квадрат высоты равен разности квадратов диагонали и ширины:$$h^2 = 58^2 - 42^2$$
2. 2
   Вычислим значение:$$h^2 = 3364 - 1764 = 1600$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Движение концов рычага

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 3 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

1. 1
   При повороте рычага на один и тот же угол перемещения его концов пропорциональны длинам плеч.$$\dfrac{s_1}{l_1} = \dfrac{s_2}{l_2}$$
2. 2
   Для короткого плеча $l_1 = 2$ м и $s_1 = 1$ м, для длинного плеча $l_2 = 3$ м.$$\dfrac{1}{2} = \dfrac{s_2}{3}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Движение концов журавля

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1,5 м?

1. 1
   При повороте журавля перемещения концов плеч пропорциональны длинам этих плеч.$$\dfrac{h_{\text{кор}}}{h_{\text{длин}}}=\dfrac{l_{\text{кор}}}{l_{\text{длин}}}$$
2. 2
   Подставим известные значения: длина короткого плеча равна 2 м, длинного — 6 м, подъём конца короткого плеча — 1,5 м.$$\dfrac{1{,}5}{h}=\dfrac{2}{6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь боковой поверхности трубы

Прямолинейный участок трубы длиной 5 м, имеющей в сечении окружность, необходимо покрасить снаружи. Торцы трубы открыты, их красить не нужно. Найдите площадь поверхности, которую необходимо…

1. 1
   Красить нужно только боковую поверхность трубы, поэтому её площадь равна произведению внешнего обхвата на длину.$$S=Cl$$
2. 2
   Переведём длину трубы в сантиметры:$$5\text{ м}=500\text{ см}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 3 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен под серединой наклонной горки, поэтому соответствующая высота составляет половину полной высоты горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение высоты горки:$$l = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$$

Площадь участка без пруда

Два садовода, имеющие прямоугольные участки размерами 20 м на 30 м с общей границей, договорились и сделали общий круглый пруд площадью 140 квадратных метров (см. рисунок), причём граница участков…

1. 1
   Найдём площадь прямоугольного участка каждого садовода.$$S_{\text{уч}} = 20 \cdot 30 = 600\ \text{м}^2$$
2. 2
   Граница участков проходит через центр пруда, поэтому пруд разделён на две равные части. Площадь пруда на одном участке составляет:$$S_{\text{пруд, 1}} = \frac{140}{2} = 70\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Движение концов рычага

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 5 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 1 м?

1. 1
   При небольшом повороте рычага перемещения его концов пропорциональны расстояниям от точки опоры.$$\dfrac{s_1}{s_2} = \dfrac{l_1}{l_2}$$
2. 2
   Подставим длину короткого плеча $2$ м, длину длинного плеча $5$ м и подъём короткого конца $1$ м.$$\dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{5}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина провода к дому

От столба высотой 9 м к дому натянут провод, который крепится на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба 8 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Вертикальный катет образовавшегося прямоугольного треугольника равен разности высоты столба и высоты крепления провода:$$9 - 3 = 6$$
2. 2
   По теореме Пифагора длина провода равна:$$l = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$$