Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$»; пусть на числовой прямой дан отрезок $B=[70;90]$. Для какого наибольшего…
- 1
Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически. Рассмотрим только $x \in [70;90]$.
- 2
Импликация может быть ложной, когда одновременно $x \in B$ и $\mathrm{ДЕЛ}(x,22)$. В отрезке $[70;90]$ единственное число, делящееся на $22$, — $88$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого числа $X$ истинно высказывание: $((X>3) \lor (X<3)) \to (X<1)$?
- 1
Рассмотрим левую часть импликации: $(X>3) \lor (X<3)$. Она ложна только при $X=3$, поскольку число 3 не больше и не меньше самого себя.$$(3>3) \lor (3<3) = 0 \lor 0 = 0$$
- 2
Импликация с ложной посылкой всегда истинна независимо от значения заключения.$$0 \to (3<1) = 1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению $\neg A \lor \neg(B \lor C)$.
- 1
Применим закон де Моргана к выражению $\neg(B \lor C)$.$$\neg(B \lor C) = \neg B \land \neg C$$
- 2
Подставим полученное равенство в исходное выражение.$$\neg A \lor \neg(B \lor C) = \neg A \lor (\neg B \land \neg C)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x>A) \lor (y>A) \lor (x+2y<80)$ истинно, то есть принимает значение $1$, при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?
- 1
Логическое выражение может быть ложным только тогда, когда ложны все три части:$$(x\leq A)\land(y\leq A)\land(x+2y\geq 80)$$
- 2
При условиях $x\leq A$ и $y\leq A$ наибольшее значение выражения $x+2y$ достигается при $x=A$ и $y=A$:$$x+2y\leq A+2A=3A$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
На числовой прямой даны два отрезка: $B = [22; 40]$ и $C = [32; 50]$. Укажите наименьшую возможную длину такого отрезка $A$, для которого логическое выражение…
- 1
Импликация $P \to Q$ ложна, когда $P$ истинно, а $Q$ ложно. Здесь при $x \notin A$ выражение должно оставаться истинным, значит при таких $x$ значения принадлежности $B$ и $C$ должны совпадать.
- 2
Принадлежность отрезкам различается на участках, входящих только в один из них: $[22; 32)$ и $(40; 50]$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ логическое выражение $(2x+y \ne 110) \lor (x<y) \lor (A<x)$ истинно, то есть принимает значение 1, при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?
- 1
Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны все три её части одновременно:$$2x+y=110,\quad x\ge y,\quad A\ge x$$
- 2
Из условия $x\ge y$ получаем $y\le x$. Поэтому из равенства $2x+y=110$ следует:$$110=2x+y\le 3x$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого числа $X$ истинно высказывание: $\neg\bigl((X>3)\to(X>4)\bigr)$?
- 1
Импликация $A\to B$ ложна только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе ложно. Поэтому её отрицание истинно при $A=1$ и $B=0$.$$\neg(A\to B)\equiv A\land\neg B$$
- 2
В данном выражении первое условие — $X>3$, а отрицание второго условия $X>4$ равносильно условию $X\leqslant4$.$$\neg\bigl((X>3)\to(X>4)\bigr)\equiv (X>3)\land(X\leqslant4)$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$»; пусть на числовой прямой дан отрезок $B=[70;90]$. Для какого наибольшего…
- 1
Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически. Проверять нужно только значения $x$ из отрезка $B$.
- 2
Чтобы выражение могло быть ложным, должно выполняться $\mathrm{ДЕЛ}(x,16)$, а также не выполняться $\mathrm{ДЕЛ}(x,A)$. Следовательно, найдём кратные $16$ на отрезке $[70;90]$.$$80 \text{ — единственное число на } [70;90], \text{ кратное } 16$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Пусть на числовой прямой дан отрезок $B=[65;85]$. Для какого наибольшего…
- 1
Если $x \notin B$, то условие $x \in B$ ложно, поэтому импликация истинна автоматически.
- 2
При $x \in B$ импликация может быть ложной только тогда, когда $x$ делится на $15$. В отрезке $[65;85]$ единственное такое число — $75$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого числа $X$ истинно высказывание: $((X > 2) \lor (X < 2)) \to (X > 4)$?
- 1
Проверим значение $X = 2$. Условия $X > 2$ и $X < 2$ при этом ложны.$$(2 > 2) = 0,\quad (2 < 2) = 0$$
- 2
Дизъюнкция двух ложных высказываний ложна.$$(X > 2) \lor (X < 2) = 0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ логическое выражение $(x \cdot y < A) \mathbin{\lor} (x < y) \mathbin{\lor} (9 < x)$ истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?
- 1
Чтобы дизъюнкция могла быть ложной, должны одновременно быть ложными второе и третье высказывания:$$\neg(x<y) \land \neg(9<x) \Longleftrightarrow x\geqslant y \land x\leqslant 9$$
- 2
При неотрицательных $x$ и $y$ в этой области максимальное значение произведения достигается при $x=y=9$:$$x\cdot y\leqslant 9\cdot 9=81$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Какое логическое выражение равносильно выражению $\neg(\neg A \lor B) \lor \neg C$?
- 1
Применим закон де Моргана к отрицанию дизъюнкции:$$\neg(\neg A \lor B) = \neg\neg A \land \neg B$$
- 2
Устраним двойное отрицание:$$\neg\neg A \land \neg B = A \land \neg B$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Для какого из указанных значений числа $X$ истинно высказывание: $(X>4) \lor ((X>1) \to (X>4))$?
- 1
Проверим значение $X=1$. Первое неравенство ложно: $1>4$ — ложь.$$X>4 = 0$$
- 2
В импликации левая часть также ложна: $1>1$ — ложь. Импликация с ложной левой частью истинна.$$(X>1) \to (X>4) = 0 \to 0 = 1$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Обозначим через $m \mathbin{\&} n$ поразрядную конъюнкцию неотрицательных целых чисел $m$ и $n$. Так, например, $14 \mathbin{\&} 5 = 1110_2 \mathbin{\&} 0101_2 = 0100_2 = 4$. Для какого наименьшего…
- 1
Чтобы импликация была невыполнена, левая часть должна быть истинной, а правая — ложной. Поэтому рассмотрим числа $x$, для которых одновременно выполняются условия $x \mathbin{\&} 52 \ne 0$ и $x \mathbin{\&} 48 = 0$.
- 2
Представим числа в двоичной системе: $52 = 110100_2$, $48 = 110000_2$. Условие $x \mathbin{\&} 48 = 0$ означает, что в $x$ отсутствуют разряды $32$ и $16$. Тогда условие $x \mathbin{\&} 52 \ne 0$ может выполняться только за счёт разряда…$$x \mathbin{\&} 4 = 4$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ логическое выражение $(x+y\le 30)\lor(y\le x+2)\lor(y\ge A)$ истинно (то есть принимает значение 1) при любых целых положительных $x$ и $y$?
- 1
Чтобы логическое выражение могло быть ложным, первые два высказывания должны быть ложными:$$x+y>30,\quad y>x+2$$
- 2
Из второго неравенства для целых чисел следует $x\le y-3$. Чтобы найти минимальное возможное $y$, берём наибольшее допустимое $x=y-3$.$$x+y\le (y-3)+y=2y-3$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ логическое выражение $(2x+y\ne 40) \lor (x<y) \lor (A<x)$ истинно при любых целых неотрицательных $x$ и $y$?
- 1
Логическое выражение ложно только тогда, когда ложны все три высказывания:$$2x+y=40,\quad x\ge y,\quad A\ge x$$
- 2
Из первого условия выразим $y$ и учтём неотрицательность переменных:$$y=40-2x,\quad 0\le x\le 20$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Какое логическое выражение равносильно выражению $\neg(A \land B) \land \neg C$?
- 1
Применяем закон де Моргана к отрицанию конъюнкции $A \land B$.$$\neg(A \land B) = \neg A \lor \neg B$$
- 2
Подставляем полученное выражение в исходную формулу.$$\neg(A \land B) \land \neg C = (\neg A \lor \neg B) \land \neg C$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_6$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?…
- 1
Каждая дизъюнкция равна нулю, значит все её конъюнкции равны нулю. Из условий $x_i \land \neg x_{i+1}=0$ следует $x_i \le x_{i+1}$, поэтому последовательность $x$ неубывает.$$x_1 \le x_2 \le \ldots \le x_6$$
- 2
Из условий $\neg y_i \land y_{i+1}=0$ следует $y_i \ge y_{i+1}$, поэтому последовательность $y$ невозрастает.$$y_1 \ge y_2 \ge \ldots \ge y_6$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x + 2y < A) \lor (y > x) \lor (x > 20)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$ и…
- 1
Чтобы дизъюнкция была тождественно истинной, не должно существовать таких $x$ и $y$, при которых все её части ложны.$$\neg(x + 2y < A) \land \neg(y > x) \land \neg(x > 20)$$
- 2
Все части одновременно ложны при условиях:$$x + 2y \geq A,\quad y \leq x,\quad x \leq 20$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Логическая функция $F$ задаётся выражением $\neg x \vee y \vee (\neg z \wedge w)$. На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции $F$, содержащий все наборы аргументов, при которых функция…
- 1
Функция $F$ равна нулю, только если каждый член дизъюнкции равен нулю.$$\neg x = 0,\quad y=0,\quad \neg z \wedge w=0$$
- 2
Из условия $\neg x=0$ получаем $x=1$, а из условия $y=0$ — $y=0$. Поэтому столбец с постоянными единицами — четвёртый, а столбец с постоянными нулями — третий.
Ещё 1 қадам — толық шешімде