Миша заполнял таблицу истинности функции $F = (\neg x \land \neg y) \lor (x \equiv z) \lor \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Во второй строке значения в первых трёх столбцах равны $1$, $0$, $0$, а значение функции равно 0. Поэтому все три части дизъюнкции должны быть равны 0. Это возможно, если неизвестное значение в четвёртом столбце равно 1, а столбцы имеют…
- 2
Проверим вторую строку при $w=1$, $z=0$, $y=0$, $x=1$:$$(\neg 1 \land \neg 0) \lor (1 \equiv 0) \lor \neg 1 = 0 \lor 0 \lor 0 = 0$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x < A) \mathbin{\lor} (y < A) \mathbin{\lor} (x + 2y > 50)$ тождественно истинно, то есть принимает значение $1$ при любых целых…
- 1
Дизъюнкция ложна только тогда, когда ложны все три высказывания:$$x \geq A,\quad y \geq A,\quad x + 2y \leq 50$$
- 2
При условиях $x \geq A$ и $y \geq A$ наименьшее возможное значение выражения $x + 2y$ достигается при $x = A$ и $y = A$:$$x + 2y \geq A + 2A = 3A$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_7, y_1, y_2, \ldots, y_7$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?…
- 1
Из условий $x_i \to x_{i+1}$ следует, что последовательность $x_1,\ldots,x_7$ не может переходить от единицы к нулю. Поэтому она имеет вид нескольких нулей, за которыми следуют единицы. Обозначим через $a$ позицию первой единицы; возможны…
- 2
Аналогично, из условий $y_i \to y_{i+1}$ последовательность $y_1,\ldots,y_7$ имеет вид нескольких нулей, за которыми следуют единицы. Обозначим через $k$ позицию первой единицы; значение $k=8$ соответствует полностью нулевой…
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_5, y_1, y_2, \ldots, y_9$, которые удовлетворяют всем приведённым ниже условиям?…
- 1
Всего имеется $5+9=14$ логических переменных, поэтому без ограничений существует $2^{14}=16384$ наборов.
- 2
Условие необходимо проверить для всех $i=1,2,3,4,5$ и $j=1,2,\ldots,9$, для которых $i<5$ и $j<9$. Всего таких пар $4\cdot 8=32$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_8, y_1, y_2, \ldots, y_8$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?…
- 1
Введём обозначения $a_i = (x_i \equiv y_i)$. Тогда каждое условие имеет вид $\neg a_i \equiv a_{i+1}$, то есть соседние значения чередуются.$$a_{i+1} = \neg a_i$$
- 2
Последовательность $a_1, a_2, \ldots, a_8$ полностью определяется значением $a_1$. Поэтому возможны ровно две последовательности: начинающаяся с 0 и начинающаяся с 1.$$2$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$»; пусть на числовой прямой дан отрезок $B=[60;80]$. Для какого наибольшего…
- 1
Если $x\notin B$, то условие импликации $x\in B$ ложно, поэтому вся импликация истинна.
- 2
Рассмотрим числа $x$ на отрезке $[60;80]$, делящиеся на 22. Единственное такое число — 66.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_8, y_1, y_2, \ldots, y_8$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?…
- 1
Введём обозначение $a_i = x_i \land y_i$. Тогда по закону де Моргана каждое условие принимает вид:$$a_i \equiv \neg(x_{i+1} \land y_{i+1}) = \neg a_{i+1}$$
- 2
Следовательно, значения $a_i$ должны чередоваться. Возможны только два шаблона:$$1,0,1,0,1,0,1,0 \quad \text{или} \quad 0,1,0,1,0,1,0,1$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Логическая функция $F$ задаётся выражением $\neg x \lor y \lor (\neg z \land w)$. На рисунке приведён фрагмент таблицы истинности функции $F$, содержащий все наборы аргументов, при которых функция…
- 1
Дизъюнкция ложна только тогда, когда все её части ложны. Поэтому для всех приведённых строк должно выполняться $\neg x = 0$ и $y = 0$.$$x = 1,\quad y = 0$$
- 2
В таблице третий столбец во всех строках равен $1$, а второй — $0$. Следовательно, третий столбец соответствует $x$, второй — $y$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x < A) \mathbin{\lor} (y < A) \mathbin{\lor} (x + 2y > 40)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых…
- 1
Логическое выражение может быть ложным только тогда, когда ложны все три высказывания:$$x \geq A,\quad y \geq A,\quad x + 2y \leq 40$$
- 2
При условиях $x \geq A$ и $y \geq A$ наименьшее возможное значение суммы $x + 2y$ достигается при $x = A$ и $y = A$:$$x + 2y \geq A + 2A = 3A$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x > A) \lor (y > A) \lor (y < x - 2) \lor (y > 2x - 10)$ тождественно истинно, то есть принимает значение $1$ при любых целых…
- 1
Чтобы выражение не было тождественно истинным, все четыре высказывания в дизъюнкции должны быть ложными одновременно.$$x \leq A,\quad y \leq A,\quad y \geq x - 2,\quad y \leq 2x - 10$$
- 2
Так как $y$ — положительное целое число и $y \leq 2x - 10$, необходимо $x \geq 6$. Проверим возможные значения $x$ при $A = 7$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Обозначим через $\mathrm{ДЕЛ}(n,m)$ утверждение «натуральное число $n$ делится без остатка на натуральное число $m$». Для какого наименьшего натурального числа $A$ логическое выражение…
- 1
Импликация ложна только тогда, когда её левая часть истинна, а правая — ложна. Поэтому должно выполняться: $x$ не делится на $35$, $x$ делится на $A$ и $x$ не делится на $21$.$$\neg\mathrm{ДЕЛ}(x,35) \land \mathrm{ДЕЛ}(x,A) \land \neg\mathrm{ДЕЛ}(x,21)$$
- 2
Чтобы выражение было тождественно истинным, не должно существовать числа, кратного $A$ и одновременно не кратного ни $35$, ни $21$. В частности, само число $A$ должно делиться на $35$ или на $21$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x \cdot y < A) \lor (x < y) \lor (7 \leq x)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных…
- 1
Чтобы выражение могло быть ложным, должны быть ложными второе и третье высказывания: $x \geq y$ и $x < 7$.$$0 \leq y \leq x \leq 6$$
- 2
В этой области максимальное значение произведения $x \cdot y$ достигается при $x = y = 6$.$$x \cdot y \leq 6 \cdot 6 = 36$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \lor y) \land \neg(y \equiv z) \land \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Во всех трёх строках значение функции равно 1. Поэтому каждый множитель выражения должен быть равен 1, в частности $\neg w = 1$, откуда $w = 0$.
- 2
Только первый столбец содержит 0 в первой и третьей строках и не содержит единиц, противоречащих условию $w=0$. Значит, первый столбец — это $w$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности логической функции $F = (x \mathbin{\lor} \neg y) \mathbin{\land} \neg(y \equiv z) \mathbin{\land} \neg w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её…
- 1
Так как $F=1$, множитель $\neg w$ должен быть равен единице. Следовательно, во всех трёх строках $w=0$. Четвёртый столбец имеет значения $0,0,0$, поэтому он соответствует переменной $w$.$$\neg w = 1 \Rightarrow w=0$$
- 2
Множитель $\neg(y \equiv z)$ равен единице тогда и только тогда, когда значения $y$ и $z$ различаются.$$\neg(y \equiv z)=1 \Rightarrow y\ne z$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности функции $ (\neg x \land \neg y) \lor (y \equiv z) \lor w $, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Функция равна 0, поэтому каждое слагаемое дизъюнкции должно быть равно 0. В частности, $w=0$, а значения $y$ и $z$ должны различаться.
- 2
Во второй строке единицы стоят в первом и третьем столбцах. Так как столбец со значением $w$ должен содержать 0, первый столбец соответствует $x$, третий — $z$, а четвёртый — $y$.
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Для какого наибольшего целого неотрицательного числа $A$ выражение $(x \cdot y > A) \lor (x > y) \lor (8 > x)$ тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любых целых неотрицательных $x$…
- 1
Если $x < 8$, третье высказывание истинно. Если $x > y$, истинно второе высказывание.$$x < 8 \lor x > y$$
- 2
Остаётся случай, когда $x \geq 8$ и $x \leq y$. Тогда $y \geq x \geq 8$, поэтому произведение минимально при $x = y = 8$.$$x \cdot y \geq 8 \cdot 8 = 64$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности функции $(\neg x \land \neg y) \lor (x \equiv z) \lor w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Функция равна 0 во всех представленных строках. Поэтому каждое слагаемое дизъюнкции должно быть равно 0.$$(\neg x \land \neg y) = 0,\quad (x \equiv z) = 0,\quad w = 0$$
- 2
Во всех строках четвёртый столбец содержит 0, поэтому ему соответствует переменная $w$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Миша заполнял таблицу истинности функции $(x \land \neg y) \lor (x \equiv z) \lor w$, но успел заполнить лишь фрагмент из трёх различных её строк, даже не указав, какому столбцу таблицы…
- 1
Во всех трёх строках значение функции равно 0. Так как функция является дизъюнкцией трёх выражений, каждое из них должно быть равно 0.$$(x \land \neg y)=0,\quad (x \equiv z)=0,\quad w=0$$
- 2
Четвёртый столбец содержит 0 во всех строках, поэтому ему соответствует переменная $w$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_6$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?…
- 1
Обозначим $a_i = x_i \land y_i$. Тогда каждое равенство системы принимает вид:$$a_i \equiv \lnot a_{i+1}$$
- 2
Следовательно, значения $a_1, a_2, \ldots, a_6$ чередуются. Возможны две последовательности: $101010$ и $010101$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Для какого наименьшего целого неотрицательного числа $A$ логическое выражение $(x \ge 12) \lor (3x < y) \lor (xy < A)$ тождественно истинно (то есть принимает значение 1) при любых целых…
- 1
Чтобы выражение могло быть ложным, первые два высказывания должны быть ложными:$$\neg(x \ge 12) \land \neg(3x < y) \Rightarrow x < 12,\ y \le 3x$$
- 2
Так как $x$ и $y$ неотрицательны, наибольшее значение произведения $xy$ при этих условиях достигается при $x = 11$ и $y = 3 \cdot 11 = 33$.$$xy_{\max} = 11 \cdot 33 = 363$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде