Решение: Логическая система с переменными
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_6$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$(x_1 \land y_1) \equiv (\lnot x_2 \lor \lnot y_2)$
$(x_2 \land y_2) \equiv (\lnot x_3 \lor \lnot y_3)$
$\ldots$
$(x_5 \land y_5) \equiv (\lnot x_6 \lor \lnot y_6)$
В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных $x_1, x_2, \ldots, x_6, y_1, y_2, \ldots, y_6$, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение по шагам
5 шаговОбозначим $a_i = x_i \land y_i$. Тогда каждое равенство системы принимает вид:
$$a_i \equiv \lnot a_{i+1}$$Следовательно, значения $a_1, a_2, \ldots, a_6$ чередуются. Возможны две последовательности: $101010$ и $010101$.
Если $a_i = 1$, то $x_i = 1$ и $y_i = 1$, то есть имеется 1 набор значений пары. Если $a_i = 0$, то возможны пары $(0,0)$, $(0,1)$ и $(1,0)$ — всего 3 набора.
В каждой из двух последовательностей три значения равны 1 и три значения равны 0. Поэтому число наборов для одной последовательности равно:
$$1^3 \cdot 3^3 = 27$$Учитывая две возможные последовательности значений $a_i$, получаем:
$$2 \cdot 27 = 54$$Где здесь ошибаются
Считать, что для условия $x_i \land y_i = 0$ существует только один набор.
Не учитывать две возможные чередующиеся последовательности значений $a_i$.
Ошибочно считать независимыми все двенадцать переменных.