Решение: Подсчёт наборов логических переменных
Сколько существует различных наборов значений логических переменных $x_1, x_2, \ldots, x_7, y_1, y_2, \ldots, y_7$, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?
$\left(y_1 \to (y_2 \land x_1)\right) \land (x_1 \to x_2) = 1$
$\left(y_2 \to (y_3 \land x_2)\right) \land (x_2 \to x_3) = 1$
$\ldots$
$\left(y_6 \to (y_7 \land x_6)\right) \land (x_6 \to x_7) = 1$
$y_7 \to x_7 = 1$.
Нужно указать количество наборов значений переменных, при которых выполнена вся система равенств.
Решение по шагам
5 шаговИз условий $x_i \to x_{i+1}$ следует, что последовательность $x_1,\ldots,x_7$ не может переходить от единицы к нулю. Поэтому она имеет вид нескольких нулей, за которыми следуют единицы. Обозначим через $a$ позицию первой единицы; возможны $a=1,2,\ldots,8$, где $a=8$ соответствует полностью нулевой последовательности.
Аналогично, из условий $y_i \to y_{i+1}$ последовательность $y_1,\ldots,y_7$ имеет вид нескольких нулей, за которыми следуют единицы. Обозначим через $k$ позицию первой единицы; значение $k=8$ соответствует полностью нулевой последовательности.
Если $k \leq 7$, то из условия $y_i \to (y_{i+1} \land x_i)$ при $i=k$ следует $x_k=1$. Значит, первая единица в последовательности $x$ должна появиться не позднее позиции $k$, то есть $a \leq k$.
Для $k=1,2,\ldots,7$ число допустимых значений $a$ равно соответственно $1,2,\ldots,7$. Если $k=8$, то есть все $y_i=0$, ограничения на последовательность $x$ со стороны переменных $y$ нет, и возможны все $8$ вариантов.
Общее количество наборов равно $1+2+3+4+5+6+7+8=36$.
Где здесь ошибаются
Не учитывать вариант полностью нулевой последовательности $y$.
Считать последовательности $x$ и $y$ независимыми.
Ошибочно разрешать переход от единицы к нулю в последовательности переменных.