Математика ОГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Радиус по ускорению

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в $\mathrm{м/с^2}$) вычисляется по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость (в $\mathrm{с^{-1}}$), $R$ — радиус окружности…

1. 1
   Выразим радиус из формулы центростремительного ускорения.$$R = \dfrac{a}{\omega^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения ускорения и угловой скорости.$$R = \dfrac{64}{4^2} = \dfrac{64}{16} = 4$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d_1 d_2 \sin\alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади четырёхугольника.$$10 = \dfrac{4 \cdot d_2 \cdot \frac{5}{7}}{2}$$
2. 2
   Упростим правую часть равенства.$$10 = \dfrac{10d_2}{7}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Охлаждение вещества за время

При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту его температура уменьшалась на $9\,^{\circ}\mathrm{C}$. Найдите температуру вещества в градусах Цельсия…

1. 1
   За 4 минуты температура уменьшится на $4\cdot 9=36\,^{\circ}\mathrm{C}$.$$4\cdot 9=36$$
2. 2
   Вычитаем это уменьшение из начальной температуры.$$T=-5-36=-41$$

Перевод градусов Фаренгейта

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах Цельсия, $t_F$ — температура в градусах…

1. 1
   Подставим $t_F = 41$ в формулу перевода температуры:$$t_C = \dfrac{5}{9}(41 - 32)$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot 9 = 5$$

Путь автомобиля до остановки

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 12 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 3 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные автомобилем за последовательные секунды, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 12$ и разностью $d = -3$.$$12,\ 9,\ 6,\ 3$$
2. 2
   После прохождения 3 м за четвёртую секунду автомобиль останавливается, поэтому складываем четыре положительных члена прогрессии.$$S_4 = 12 + 9 + 6 + 3 = 30$$

Тормозной путь автомобиля

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 28 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные автомобилем за каждую секунду, образуют арифметическую прогрессию с первым членом 28 и разностью $-4$.$$a_n=28+(n-1)(-4)$$
2. 2
   До полной остановки автомобиль проходит расстояния $28, 24, 20, 16, 12, 8, 4$ м. Это 7 членов прогрессии.$$a_7=28-4\cdot 6=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры в Цельсий

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \frac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах Цельсия, $t_F$ — температура в градусах…

1. 1
   Подставим значение температуры по шкале Фаренгейта в формулу:$$t_C = \frac{5}{9}(-4 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$t_C = \frac{5}{9} \cdot (-36) = -20$$

Расчёт сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление $R$, если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения мощности и силы тока.$$R = \dfrac{15{,}75}{1{,}5^2} = \dfrac{15{,}75}{2{,}25} = 7$$

Путь автомобиля при торможении

Водитель автомобиля начал торможение. За секунду после начала торможения автомобиль проехал 27 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 4 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров…

1. 1
   Расстояния, пройденные за последовательные секунды, образуют арифметическую прогрессию: первый член равен 27 м, разность равна $-4$ м.$$a_1=27,\quad d=-4$$
2. 2
   Найдём сумму первых шести членов арифметической прогрессии.$$S_6=\frac{6}{2}\left(2\cdot27+(6-1)\cdot(-4)\right)$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры по шкалам

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах Цельсия, $t_F$ — температура в градусах…

1. 1
   Подставим $t_C = 55$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot 55 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$t_F = 99 + 32 = 131$$

Места в одиннадцатом ряду

В амфитеатре 13 рядов. В первом ряду 22 места, а в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 22, разность прогрессии равна 3.$$a_1 = 22,\quad d = 3$$
2. 2
   Найдём количество мест в одиннадцатом ряду по формуле арифметической прогрессии.$$a_{11} = a_1 + (11 - 1)d = 22 + 10 \cdot 3 = 52$$

Перевод градусов Фаренгейта

Перевести значение температуры по шкале Фаренгейта в шкалу Цельсия позволяет формула $t_C = \dfrac{5}{9}(t_F - 32)$, где $t_C$ — температура в градусах Цельсия, $t_F$ — температура в градусах…

1. 1
   Подставим $t_F = 23$ в формулу.$$t_C = \dfrac{5}{9}(23 - 32)$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$t_C = \dfrac{5}{9} \cdot (-9) = -5$$

Стоимость колодца по формуле

В фирме «Чистая вода» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6500 + 4000n$, где $n$ — число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значение $n = 13$:$$C = 6500 + 4000 \cdot 13$$
2. 2
   Вычислим стоимость колодца:$$C = 6500 + 52000 = 58500$$

Радиус по центростремительному ускорению

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в $\mathrm{м/с^2}$) вычисляется по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость (в $\mathrm{с^{-1}}$), $R$ — радиус окружности…

1. 1
   Выразим радиус из формулы центростремительного ускорения.$$R = \dfrac{a}{\omega^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$R = \dfrac{180{,}5}{9{,}5^2} = \dfrac{180{,}5}{90{,}25} = 2$$

Расчёт радиуса окружности

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с^2) вычисляется по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость (в с^{-1}), $R$ — радиус окружности (в метрах). Пользуясь…

1. 1
   Выразим радиус из формулы $a = \omega^2 R$:$$R = \dfrac{a}{\omega^2}$$
2. 2
   Подставим значения угловой скорости и ускорения:$$R = \dfrac{35}{5^2} = \dfrac{35}{25} = 1{,}4$$

Радиус по центростремительному ускорению

Центростремительное ускорение при движении по окружности (в м/с^2) вычисляется по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость (в с$^{-1}$), $R$ — радиус окружности (в метрах)…

1. 1
   Выразим радиус из формулы центростремительного ускорения:$$R = \dfrac{a}{\omega^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$R = \dfrac{1{,}5}{(0{,}5)^2} = \dfrac{1{,}5}{0{,}25} = 6$$

Стоимость колодца из колец

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных в колодце. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим число колец $n = 5$ в формулу стоимости.$$C = 6000 + 4100 \cdot 5$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$C = 6000 + 20500 = 26500$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d_1 d_2 \sin\alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2 = \dfrac{2 \cdot 8{,}75}{14 \cdot \frac{1}{12}} = \dfrac{17{,}5 \cdot 12}{14} = 15$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d_1 d_2 \sin\alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$51 = \frac{17 \cdot d_2 \cdot \frac{1}{3}}{2}$$
2. 2
   Упростим правую часть уравнения:$$51 = \frac{17d_2}{6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Места в одиннадцатом ряду

В амфитеатре 12 рядов. В первом ряду 21 место, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в одиннадцатом ряду амфитеатра?

1. 1
   Количество мест в рядах образует арифметическую прогрессию: первый член равен 21, разность равна 2.$$a_1 = 21,\ d = 2$$
2. 2
   Находим количество мест в одиннадцатом ряду.$$a_{11} = a_1 + (11 - 1)d = 21 + 10 \cdot 2 = 41$$