Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Площади и измерения» — с ответами

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   По клеткам определяем горизонтальное и вертикальное расстояния между точками: $4$ и $3$ клетки.$$a = 4,\quad b = 3$$
2. 2
   Расстояние между точками является гипотенузой прямоугольного треугольника.$$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку основание треугольника занимает 8 клеток, а высота, проведённая к этому основанию, равна 7 клеткам.$$a = 8,\quad h = 7$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 7 = 28$$

Площадь ромба на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   По клеткам определяем длины диагоналей ромба: $d_1 = 10$, $d_2 = 6$.$$d_1 = 10,\quad d_2 = 6$$
2. 2
   Используем формулу площади ромба через его диагонали.$$S = \dfrac{d_1 d_2}{2} = \dfrac{10 \cdot 6}{2} = 30$$

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку длина основания параллелограмма равна семи клеткам, то есть $a = 7$.$$a = 7$$
2. 2
   Высота параллелограмма равна шести клеткам, то есть $h = 6$.$$h = 6$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По клеткам определяем длины оснований трапеции: верхнее основание равно $3$, нижнее — $7$.
2. 2
   Высота трапеции равна расстоянию между основаниями: $h=5$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площади двух кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   Примем длину стороны клетки за единицу. Радиус меньшего круга равен 1 клетке, а радиус большего круга равен $\sqrt{5}$ клетки.$$r=1,\quad R=\sqrt{5}$$
2. 2
   Площадь круга пропорциональна квадрату радиуса, поэтому отношение площадей равно:$$\frac{S_\text{б}}{S_\text{м}}=\frac{\pi R^2}{\pi r^2}=\frac{\pi(\sqrt{5})^2}{\pi\cdot1^2}=5$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   Выберем горизонтальную сторону треугольника в качестве основания. По клеткам её длина равна $8$.$$a = 8$$
2. 2
   Высота треугольника, проведённая к этому основанию, равна $9$ клеткам.$$h = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма по клеткам

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   По рисунку длина основания параллелограмма равна пяти клеткам, то есть $a = 5$.$$a = 5$$
2. 2
   Высота параллелограмма также равна пяти клеткам, то есть $h = 5$.$$h = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   Площадь круга вычисляется по формуле:$$S = \pi r^2$$
2. 2
   По рисунку определяем отношение квадратов радиусов двух кругов. Поэтому отношение их площадей равно:$$\frac{S_\text{большего}}{S_\text{меньшего}} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = 8$$

Площадь треугольника на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён треугольник. Найдите его площадь.

1. 1
   По клеткам на рисунке длина основания треугольника равна $8$, а его высота равна $5$.$$a = 8,\quad h = 5$$
2. 2
   Вычислим площадь треугольника.$$S = \dfrac{1}{2}ah = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 = 20$$

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   Между точками по горизонтали — $12$ клеток, по вертикали — $5$ клеток.$$a = 12,\quad b = 5$$
2. 2
   Расстояние между точками находим по теореме Пифагора:$$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{169} = 13$$

Площади двух кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   Площадь круга вычисляется по формуле:$$S=\pi R^2$$
2. 2
   При сравнении площадей число $\pi$ сокращается, поэтому отношение площадей равно квадрату отношения радиусов. По рисунку это отношение равно $2$.$$\dfrac{S_{\text{большего}}}{S_{\text{меньшего}}}=2$$

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По рисунку определяем длины оснований трапеции: верхнее основание равно $2$, нижнее — $6$ клеткам.
2. 2
   Высота трапеции равна $7$ клеткам.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь трапеции на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображена трапеция. Найдите её площадь.

1. 1
   По клеткам определяем длины оснований трапеции: верхнее основание равно $5$, нижнее — $9$.
2. 2
   Высота трапеции равна $5$, так как горизонтальные основания находятся на расстоянии пяти клеток.$$h = 5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площади двух кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   Площадь круга вычисляется по формуле:$$S = \pi r^2$$
2. 2
   По рисунку радиус меньшего круга равен $1$, а квадрат радиуса большего круга равен $10$.$$r_\text{м}^2 = 1, \quad r_\text{б}^2 = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   По рисунку горизонтальное расстояние между точками равно 8 клеткам, а вертикальное — 6 клеткам.$$a = 8,\quad b = 6$$
2. 2
   Расстояние между точками находим по теореме Пифагора.$$d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{8^2+6^2} = \sqrt{100} = 10$$

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клетчатой сетке радиус большого круга равен 3 клеткам, а радиус малого круга — 2 клеткам.$$R = 3,\quad r = 2$$
2. 2
   Отношение площадей кругов равно квадрату отношения их радиусов.$$\dfrac{S_б}{S_м} = \dfrac{\pi R^2}{\pi r^2} = \left(\dfrac{R}{r}\right)^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Отношение площадей кругов

На клетчатой бумаге изображены два круга. Во сколько раз площадь большего круга больше площади меньшего?

1. 1
   По клетчатой бумаге определяем радиусы кругов: радиус большего круга равен $2{,}25$ клетки, радиус меньшего — $2$ клетки.$$R=2{,}25,\quad r=2$$
2. 2
   Площадь круга вычисляется по формуле $S=\pi r^2$, поэтому отношение площадей равно квадрату отношения радиусов.$$\dfrac{S_{\text{больш}}}{S_{\text{меньш}}}=\left(\dfrac{R}{r}\right)^2=\left(\dfrac{2{,}25}{2}\right)^2=\dfrac{81}{64}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь параллелограмма на клетчатой бумаге

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображён параллелограмм. Найдите его площадь.

1. 1
   Выберем горизонтальную сторону параллелограмма в качестве основания. Её длина равна $4$ клетки, то есть $a = 4$.$$a = 4$$
2. 2
   Высота параллелограмма равна расстоянию между его горизонтальными сторонами: $h = 3$ клетки.$$h = 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между точками

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 \times 1$ изображены две точки. Найдите расстояние между ними.

1. 1
   Между точками по горизонтали расположено $3$ клетки, а по вертикали — $4$ клетки.$$a = 3,\quad b = 4$$
2. 2
   Расстояние между точками найдём по теореме Пифагора.$$d = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$