Математика ЕНТ — решения заданий ФИПИ с ответами

Дана геометрическая прогрессия (bₙ), где b₃ = 10 и b₆ = 80. Установите соответств

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, где $b_3 = 10$ и $b_6 = 80$. Установите соответствие между выражением и его числовым значением: А) $S_5$ В) $19 \cdot b_1$

(aₙ) является арифметической прогрессией, сумма первых n членов прогрессии задана

$(a_n)$ является арифметической прогрессией, сумма первых $n$ членов прогрессии задана формулой $S_n = n^2 - 2n$. Сопоставьте: A) найти 12-й член прогрессии B) найти разность арифметической прогрессии

1. 1
   Найти первый член $a_1$ как $S_1$:$a_1 = S_1 = 1^2 - 2\cdot1 = -1$$$a_1 = -1$$
2. 2
   Найти второй член $a_2 = S_2 - S_1$:$a_2 = (2^2 - 2\cdot2) - (-1) = 0 + 1 = 1$$$a_2 = 1$$

Ещё 3 шага — в полном решении

g(x)=sin (3x+π/7) функциясының ең кіші оң периодын анықтаңыз.

$g(x)=\sin \left(3x+\frac{\pi}{7}\right)$ функциясының ең кіші оң периодын анықтаңыз.

1. 1
   Выделим коэффициент при $x$ в аргументе синуса: $a=3$.
2. 2
   Период функции $\sin(ax+b)$ равен $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$.$$\frac{2\pi}{|a|}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Выберите все промежутки, которым принадлежит значение выражения $3(2,1x+1) - (1,5 - 4x) -

Выберите все промежутки, которым принадлежит значение выражения $3(2,1x+1) - (1,5 - 4x) - 6,2$, при $x = 1$

1. 1
   Подставьте x = 1 в выражение: 3(2,1·1 + 1) - (1,5 - 4·1) - 6,2
2. 2
   Вычислите внутри скобок: 2,1·1 + 1 = 2,1 + 1 = 3,1

Ещё 4 шага — в полном решении

Нурсултан написал выражение (-x+4y)/(5y+x) и попросил братьев найти его среднее значение

Нурсултан написал выражение $\frac{-x+4y}{5y+x}$ и попросил братьев найти его среднее значение, когда $\frac{x}{y} = 4$ и когда $\frac{x}{y} = -\frac{1}{7}$. Какие ответы они найдут?

1. 1
   Подставим x = 4y в выражение $\frac{-x+4y}{5y+x}$: получаем $\frac{-4y+4y}{5y+4y} = \frac{0}{9y} = 0$.
2. 2
   Подставим x = -\frac{1}{7}y в выражение: $\frac{-(-\frac{1}{7}y)+4y}{5y+(-\frac{1}{7}y)} = \frac{\frac{1}{7}y+4y}{5y-\frac{1}{7}y} = \frac{\frac{29}{7}y}{\frac{34}{7}y} = \frac{29}{34}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері 5-ке және 12-ге тең. Тікбұрышты үшбұрыштың биссектрисасың

Тікбұрышты үшбұрыштың катеттері 5-ке және 12-ге тең. Тікбұрышты үшбұрыштың биссектрисасың гипотенузаны бөлген кесінділердің ұзындықтары:

1. 1
   Катети тркутност на 5 и 12, палатање хипотенузе: $\sqrt{5^2+12^2}=13$.$$\sqrt{5^2+12^2}=13$$
2. 2
   Формула за дељење хипотенузе бисектрисой у равом trouglu: доле су пропорционални катетима. Дакле, делови су $\frac{5}{5+12}\cdot13=\frac{65}{17}$ и $\frac{12}{5+12}\cdot13=\frac{156}{17}$.$$\frac{5}{17}\cdot13=\frac{65}{17}\quad\text{i}\quad\frac{12}{17}\cdot13=\frac{156}{17}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Из перечисленных ниже ответов найдите те, которые равны значению выражения: $\sin30^\circ

Из перечисленных ниже ответов найдите те, которые равны значению выражения: $\sin30^\circ - 3\text{tg}\frac{\pi}{4}$

1. 1
   Найдём sin30°.$$\sin30^{\circ}=\frac12$$
2. 2
   Найдём tg(π/4).$$\tg\frac{\pi}{4}=1$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Переведите данное выражение в градусы: 4π/3

Переведите данное выражение в градусы: $\frac{4\pi}{3}$

1. 1
   Перевод из радиан в градусы: умножить на $\frac{180^\circ}{\pi}$$$\frac{4\pi}{3} \cdot \frac{180^\circ}{\pi}$$
2. 2
   Сократить $\pi$ в числителе и знаменателе$$\frac{4}{3} \cdot 180^\circ$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Сумма трёх данных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, у которой разность больше

Сумма трёх данных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, у которой разность больше нуля, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 4 и 19, то полученные числа составляют…

Выражения x - 1, x + 2 и 3x образуют три последовательных члена геометрической прогрессии

Выражения $x - 1, x + 2$ и $3x$ образуют три последовательных члена геометрической прогрессии в указанном порядке. Найдите все значения $x$

1. 1
   Для геометрической прогрессии отношение между последовательными членами постоянно: $\frac{x+2}{x-1} = \frac{3x}{x+2}$$$\frac{x+2}{x-1} = \frac{3x}{x+2}$$
2. 2
   Перемножаем крест-накрест: $(x+2)^2 = 3x(x-1)$$$(x+2)^2 = 3x(x-1)$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите показательное уравнение: 3 · 2ˣ + 5 = 2²ˣ⁺¹

Решите показательное уравнение: $3 \cdot 2^x + 5 = 2^{2x+1}$

Точка А лежит на одном ребре двугранного угла. Расстояние от точки А до другого ребра

Точка А лежит на одном ребре двугранного угла. Расстояние от точки А до другого ребра составляет 5 см. Найдите длины $x$ и ее проекции на второе ребро, как показано на рисунке.

Трапецияның орта сызығы 10 см-ге тең және ол сызық трапецияның ауданын 3:5 қатынаста бөлед

Трапецияның орта сызығы 10 см-ге тең және ол сызық трапецияның ауданын 3:5 қатынаста бөледі. Трапецияның табандарының ұзындықтарын табыңыз.

1. 1
   Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, причем $a < b$. Орта сызык — это средняя линия трапеции, равная $\frac{a+b}{2}$. По условию, она равна 10 см: $\frac{a+b}{2} = 10 \implies a+b = 20$.$$\frac{a+b}{2}=10$$
2. 2
   Средняя линия делит площадь трапеции в отношении 3:5. Площадь трапеции $S = \frac{a+b}{2} \cdot h = 10h$. Высота $h$ одинакова для обеих частей. Площадь верхней меньшей трапеции (с основаниями $a$ и средней линией $m=10$) равна…$$\frac{a+10}{b+10}=\frac{3}{5}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Площадь поверхности сферы 324 π м². Найдите радиус сферы.

Площадь поверхности сферы $324 \pi \text{ м}^2$. Найдите радиус сферы.

1. 1
   Площадь поверхности сферы выражается формулой $S = 4\pi r^2$.$$S = 4\pi r^2$$
2. 2
   Подставим известное значение площади: $324\pi = 4\pi r^2$.$$324\pi = 4\pi r^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Көлбеу параллелепипедтің табаны – қабырғалары 4 см және 6 см болатын тіктөртбұрыш. Бүйір қ

Көлбеу параллелепипедтің табаны – қабырғалары 4 см және 6 см болатын тіктөртбұрыш. Бүйір қыры 2 см-ге тең және табанының іргелес қабырғаларымен $60^{\circ}$ бұрыш жасайды. Көлемін табыңыз

1. 1
   Площадь прямоугольного основания: $S = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}^2$.$$S=4\cdot6=24$$
2. 2
   Высота параллелепипеда — это проекция ребра на перпендикуляр к основанию: $h = 2 \cdot \sin 60^{\circ} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \text{ см}$.$$h=2\cdot\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

В тетраэдре DABC, ∠ BDC = 60°, DA=DB=DC. Угол между векторами DB и CB

В тетраэдре DABC, $\angle BDC = 60^{\circ}$, DA=DB=DC. Угол между векторами $\vec{DB}$ и $\vec{CB}$

k(4;3) векторының ұзындығын табыңыз

$\vec{k}(4;3)$ векторының ұзындығын табыңыз

1. 1
   Вектор задан своими координатами: $\vec{k} = (4; 3)$.
2. 2
   Длина вектора $\vec{k} = (x; y)$ вычисляется по формуле $\sqrt{x^2 + y^2}$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Векторы a,b,c удовлетворяют условию a+b+c=0. Если

Векторы $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ удовлетворяют условию $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$. Если $|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=9$, найдите значение выражения…

Точки A(-1;-2;4), В(-4;-2;0) и С(3;-2;1) являются вершинами треугольника $\triangle

Точки $A(-1;-2;4)$, $В(-4;-2;0)$ и $С(3;-2;1)$ являются вершинами треугольника $\triangle АВС$. Найдите градусную меру угла при вершине $А$ треугольника.

1. 1
   Найдите векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ из координат точек.$$\vec{AB}=B-A=(-4-(-1);\,-2-(-2);\,0-4)=(-3;0;-4)\quad\vec{AC}=C-A=(3-(-1);\,-2-(-2);\,1-4)=(4;0;-3)$$
2. 2
   Вычислите скалярное произведение $\vec{AB}\cdot\vec{AC}$.$$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=(-3)\cdot4+0\cdot0+(-4)\cdot(-3)=-12+0+12=0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Если Р(2;2) и Н(6;6) являются концами отрезка, найдите координаты его середины.

Если $Р(2;2)$ и $Н(6;6)$ являются концами отрезка, найдите координаты его середины.

1. 1
   Середина отрезка с концами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ находится по формуле: $\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$.$$\left(\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$$
2. 2
   Подставляем координаты точек $Р(2;2)$ и $Н(6;6)$: $\frac{2 + 6}{2} = 4$, $\frac{2 + 6}{2} = 4$.$$\frac{2+6}{2}=4;\ \frac{2+6}{2}=4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении