ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕНТ по математика: «Дәрежелер және өрнектер» — жауаптарымен

Есептеңіз: $\left(\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} + \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{15}-\sq

Есептеңіз: $\left(\frac{2\sqrt{15}}{\sqrt{15}+\sqrt{13}} + \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{15}-\sqrt{13}} - 4\sqrt{13}\right)\cdot (7+\sqrt{13})$

Интегралды есептеңіз: ∫₀^(π/4)(sin3xcos2x - cos3xsin2x)dx

Интегралды есептеңіз: $\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\sin3x\cos2x - \cos3x\sin2x)dx$

1. 1
   Используем формулу тригонометрического преобразования: sinA cosB - cosA sinB = sin(A - B).
2. 2
   Тогда подынтегральное выражение: sin(3x - 2x) = sin x.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

Егер 4ˣ + 4⁻ˣ = 23 болса, онда 2ˣ + 2⁻ˣ өрнегінің мәні

Егер $4^x + 4^{-x} = 23$ болса, онда $2^x + 2^{-x}$ өрнегінің мәні

1. 1
   Обозначим $t = 2^x + 2^{-x}$. Тогда $t^2 = (2^x + 2^{-x})^2 = 2^{2x} + 2 + 2^{-2x} = 4^x + 4^{-x} + 2$.
2. 2
   По условию $4^x + 4^{-x} = 23$, поэтому $t^2 = 23 + 2 = 25$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Табыңыз: ∫ (eˣ + 2ˣ + 1)dx

Табыңыз: $\int (e^x + 2^x + 1)dx$

1. 1
   Найдите интеграл по частям: интеграл от суммы равен сумме интегралов.
2. 2
   Интеграл от $e^x$ равен $e^x$

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Өрнекті ықшамдаңыз: (2+√6)(1-3√6) · 3√6 + 48√6

Өрнекті ықшамдаңыз: $(2+\sqrt{6})(1-3\sqrt{6}) \cdot 3\sqrt{6} + 48\sqrt{6}$

1. 1
   Умножу скобки: (2+√6)(1−3√6) = 2·1 + 2·(−3√6) + √6·1 + √6·(−3√6) = 2 − 6√6 + √6 − 3·6 = 2 − 6√6 + √6 − 18 = −16 − 5√6
2. 2
   Умножу на 3√6: (−16 − 5√6)·3√6 = −16·3√6 − 5√6·3√6 = −48√6 − 15·6 = −48√6 − 90

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Есептеңіз: 81^(log₃ 5) + 27^(log₉ 36) + 3^(4log₉ 7)

Есептеңіз: $81^{\log_3 5} + 27^{\log_9 36} + 3^{4\log_9 7}$

Жеңілдетіңіз: (sin 3α)/(sin α) - (cos 3α)/(cos α)

Жеңілдетіңіз: $\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha}$

1. 1
   Используем формулы тройного угла: $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ и $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\\\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$
2. 2
   Подставляем в выражение и делим: $\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = 3 - 4\sin^2\alpha$, $\frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = 4\cos^2\alpha - 3$$$\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = 3 - 4\sin^2\alpha\\\frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = 4\cos^2\alpha - 3$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Өрнектің мәнін табыңыз: (lg(3+2√2))/(lg(√2+1))

Өрнектің мәнін табыңыз: $\frac{\lg(3+2\sqrt{2})}{\lg(\sqrt{2}+1)}$

1. 1
   Заметим, что $3+2\sqrt{2}=(\sqrt{2}+1)^2$.
2. 2
   Тогда $\lg(3+2\sqrt{2}) = \lg((\sqrt{2}+1)^2) = 2\lg(\sqrt{2}+1)$ по свойству логарифма $\lg(a^b)=b\lg a$.

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Берілгені: sin α = 3/5 және α ∈ (90°;180°). Мәнін табыңыз

Берілгені: $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ және $\alpha \in (90^\circ;180^\circ)$. $\frac{\cos \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha}{\operatorname{ctg} \alpha}$ мәнін табыңыз

1. 1
   Найдём cos α из тождества sin²α+cos²α=1, учитывая, что α во II четверти (cos отрицателен).$$\cos\alpha =-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}= -\frac{4}{5}$$
2. 2
   Вычислим tg α и ctg α: tg α = sin α / cos α, ctg α = 1 / tg α.$$\operatorname{tg}\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} =-\frac{3}{4},\quad \operatorname{ctg}\alpha =\frac{1}{\operatorname{tg}\alpha} =-\frac{4}{3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Егер 4a² + 9b² = 13ab, онда (2lg(2a+3b)-2lg5)/(lg a+lg b) өрнектің мәні

Егер $4a^2 + 9b^2 = 13ab$, онда $\frac{2\lg(2a+3b)-2\lg5}{\lg a+\lg b}$ өрнектің мәні

Өрнекті ықшамдаңыз: sin³ α cos 3α + cos³ α sin 3α

Өрнекті ықшамдаңыз: $\sin^3 \alpha \cos 3\alpha + \cos^3 \alpha \sin 3\alpha$

Өрнекті ықшамда: (2-sin² α-cos² α)/(3sin² α + 3cos² α)

Өрнекті ықшамда: $\frac{2-\sin^2 \alpha-\cos^2 \alpha}{3\sin^2 \alpha + 3\cos^2 \alpha}$

1. 1
   Используем фундаментальное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для упрощения числителя и знаменателя.
2. 2
   Числитель: $2 - \sin^2\alpha - \cos^2\alpha = 2 - (\sin^2\alpha + \cos^2\alpha) = 2 - 1 = 1$.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Өрнекті ықшамдаңыз: $\frac{4 \cos 2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha-\text{tg}^2\alpha} + \cos^2

Өрнекті ықшамдаңыз: $\frac{4 \cos 2\alpha}{\text{ctg}^2\alpha-\text{tg}^2\alpha} + \cos^2 2\alpha$

Найдите значение выражения (x² - y)/(x - 7) - x + 6x/(7 - x), при $x = 1, y =

Найдите значение выражения $\frac{x^2 - y}{x - 7} - x + \frac{6x}{7 - x}$, при $x = 1, y = -2$

1. 1
   Подставляем x = 1 и y = -2 в выражение: (1² - (-2))/(1 - 7) - 1 + (6·1)/(7 - 1)
2. 2
   Вычисляем числитель: 1 - (-2) = 1 + 2 = 3. Знаменатель: 1 - 7 = -6. Первая дробь: 3/(-6) = -1/2.

Ещё 2 қадам — толық шешімде

Simplify the trigonometric expression: $\sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) + \cos

Simplify the trigonometric expression: $\sin \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) + \cos(\pi + \alpha)$

Өрнекті ықшамдаңыз: (x - 2y)² - 2y(2y - x)

Өрнекті ықшамдаңыз: $(x - 2y)^2 - 2y(2y - x)$

1. 1
   Раскройте квадрат разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.$$(x - 2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2$$
2. 2
   Раскройте скобки во втором слагаемом, распределив $-2y$ по $(2y - x)$.$$-2y(2y - x) = -4y^2 + 2xy$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Мәндері санмен √3 тең болатын өрнектерді көрсетіңіз

Мәндері санмен $\sqrt{3}$ тең болатын өрнектерді көрсетіңіз

1. 1
   Вычислим значения тригонометрических функций в приведённых вариантах, чтобы найти те, которые равны $\sqrt{3}$.
2. 2
   Вариант A: $-2\cos\frac{\pi}{6} = -2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3} \neq \sqrt{3}$.

Ещё 4 қадам — толық шешімде

Find the factors of a²-a-6.

Find the factors of $a^2-a-6$.

Из перечисленных ниже ответов найдите те, которые равны значению выражения $\frac{|a+2|}{a

Из перечисленных ниже ответов найдите те, которые равны значению выражения $\frac{|a+2|}{a-1}$, при $a = -5$

1. 1
   Подставляем $a = -5$ в выражение $\frac{|a+2|}{a-1}$.
2. 2
   Считаем числитель: $|a+2| = |-5+2| = |-3| = 3$.

Ещё 3 қадам — толық шешімде

arccos (-1/2) өрнегінің мәні тең

$\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$ өрнегінің мәні тең

1. 1
   Вспомним определение функции arccos: она возвращает значение угла из диапазона [0, π], косинус которого равен данному числу.
2. 2
   Найдём угол, косинус которого равен -1/2. Из тригонометрического круга: cos(2π/3) = -1/2.

Ещё 2 қадам — толық шешімде