Решения заданий ФИПИ ЕНТ по математике: «Решение уравнений» — с ответами

Решите уравнение 2⁴ˣ + 2³ˣ + 2ˣ = 4 · 2²ˣ - 1

Решите уравнение $2^{4x} + 2^{3x} + 2^x = 4 \cdot 2^{2x} - 1$

1. 1
   Обозначим $t = 2^x$, тогда уравнение становится $t^4 + t^3 + t = 4t^2 - 1$$$t^4 + t^3 + t = 4t^2 - 1$$
2. 2
   Перенесём все члены в левую часть: $t^4 + t^3 - 4t^2 + t + 1 = 0$$$t^4 + t^3 - 4t^2 + t + 1 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите систему уравнений: log₄x + log₄y = 1 ; y + 2x = 9

Решите систему уравнений: $\begin{cases} \log_4x + \log_4y = 1 \\ y + 2x = 9 \end{cases}$

1. 1
   Из первого уравнения используем свойство логарифма суммы: $\log_4 x + \log_4 y = \log_4 (xy) = 1$, откуда $xy = 4^1 = 4$.$$\log_4 x + \log_4 y = \log_4(xy) = 1 \implies xy = 4$$
2. 2
   Подставляем $y = \frac{4}{x}$ во второе уравнение: $\frac{4}{x} + 2x = 9$. Умножаем обе стороны на $x$ (при условии $x \ne 0$): $4 + 2x^2 = 9x$ → $2x^2 - 9x + 4 = 0$.$$\frac{4}{x} + 2x = 9 \implies 4 + 2x^2 = 9x \implies 2x^2 - 9x + 4 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Calculate the value of the expression (-x₀ + 2y₀) with x₀ > y₀, where (x₀; y₀)

Calculate the value of the expression $(-x_0 + 2y_0)$ with $x_0 > y_0$, where $(x_0; y_0)$ is the solution of the system of equations…

1. 1
   Перепишем первое уравнение, используя свойства логарифмов. Поскольку $\log_4 y = \frac{\log_2 y}{\log_2 4} = \frac{\log_2 y}{2}$, то $\log_2 x - \frac{1}{2}\log_2 y = 1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
2. 2
   Умножим обе части на 2: $2\log_2 x - \log_2 y = 3$.

Ещё 4 шага — в полном решении

Решите уравнение: 4(2x-1)-(x-16) = 2(6x-5)-5(x+2)

Решите уравнение: $4(2x-1)-(x-16) = 2(6x-5)-5(x+2)$

Решите систему уравнений: $\begin{cases} \sin^2 x + \cos y = 1 \\ \cos^2 x + \cos y = 1 \e

Решите систему уравнений: $\begin{cases} \sin^2 x + \cos y = 1 \\ \cos^2 x + \cos y = 1 \end{cases}$

1. 1
   Вычитаем первое уравнение из второго: (cos²x + cos y) - (sin²x + cos y) = 1 - 1 → cos²x - sin²x = 0.$$cos^2 x - \sin^2 x = 0$$
2. 2
   Это упрощается до cos 2x = 0 → 2x = π/2 + πk → x = π/4 + πk/2, k ∈ ℤ.$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите систему уравнений: $\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2 \\ x^2 y - 2y + 9 = 0 \en

Решите систему уравнений: $\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 2 \\ x^2 y - 2y + 9 = 0 \end{cases}$

1. 1
   Из первого уравнения: $\log_3 x + \log_3 y = \log_3 (xy) = 2 \Rightarrow xy = 3^2 = 9$
2. 2
   Выразим $y = \frac{9}{x}$ и подставим во второе уравнение: $x^2 \cdot \frac{9}{x} - 2\cdot \frac{9}{x} + 9 = 0 \Rightarrow 9x - \frac{18}{x} + 9 = 0$

Ещё 3 шага — в полном решении

Укажите произведение корней уравнения: x^(log₇ x + 1) = 5^(log₅ 49).

Укажите произведение корней уравнения: $x^{\log_7 x + 1} = 5^{\log_5 49}$.

Решите уравнение: $\left( \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^x = 2 - \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}

Решите уравнение: $\left( \sqrt{5 - 2\sqrt{6}} \right)^x = 2 - \left( \sqrt{5 + 2\sqrt{6}} \right)^x$

1. 1
   Упростите радикалы: $\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$ и $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$.
2. 2
   Подставьте: $(\sqrt{3} - \sqrt{2})^x = 2 - (\sqrt{3} + \sqrt{2})^x$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите систему уравнений и найдите значения x и y: $\begin{cases} 36^x - 6^{x+1

Решите систему уравнений и найдите значения x и y: $\begin{cases} 36^x - 6^{x+1} \cdot 5^y - 25^y - 191 = 0 \\ 6^x + 5^y - 41 = 0 \end{cases}$

Теңдеуді шешіңіз: cos x · sin 5x = cos 2x · sin 4x

Теңдеуді шешіңіз: $\cos x \cdot \sin 5x = \cos 2x \cdot \sin 4x$

1. 1
   Применяем формулы преобразования произведения в сумму: $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ к обеим частям уравнения.
2. 2
   Левая часть: $\frac{1}{2}[\sin(6x) - \sin(4x)]$, правая часть: $\frac{1}{2}[\sin(6x) - \sin(2x)]$. После сокращения $\frac{1}{2}$ и переноса получаем $\sin(4x) = \sin(2x)$.

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите уравнение: 6cos²x+5cos(π/2-x)=7

Решите уравнение: $6\cos^2x+5\cos(\frac{\pi}{2}-x)=7$

1. 1
   Сначала упростите $\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$ до $\sin x$ по формуле $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$. Тогда уравнение принимает вид $6\cos^2 x + 5\sin x = 7$.
2. 2
   Замените $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$: $6(1 - \sin^2 x) + 5\sin x = 7 \Rightarrow 6 - 6\sin^2 x + 5\sin x = 7 \Rightarrow -6\sin^2 x + 5\sin x - 1 = 0$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Корнями уравнения (x² + 2)² - 6(x² + 2) - 7 = 0 являются

Корнями уравнения $(x^2 + 2)^2 - 6(x^2 + 2) - 7 = 0$ являются

1. 1
   Пусть $t = x^2 + 2$. Тогда уравнение принимает вид $t^2 - 6t - 7 = 0$.$$t^2 - 6t - 7 = 0$$
2. 2
   Решаем квадратное уравнение: $t = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2}$, откуда $t = 7$ или $t = -1$.$$t = 7 \quad \text{или} \quad t = -1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите систему уравнений: x - y = 12 ; xy = 108

Решите систему уравнений: $ \begin{cases} x - y = 12 \\ xy = 108 \end{cases} $

1. 1
   Подставим $x = y + 12$ из первого уравнения во второе: $(y+12)y = 108$.
2. 2
   Получаем квадратное уравнение: $y^2 + 12y - 108 = 0$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите значение выражения (x + y), где (x; y) – решение системы уравнений: $x = y - \

Найдите значение выражения $(x + y)$, где $(x; y)$ – решение системы уравнений: $x = y - \frac{\pi}{2}$, $tgx + 2ctgy = 1$, если $(x + y) \in [-2\pi; 2\pi]$

Теңдеуді шешіңіз: cos 2x = 2cos x cos 5x-1

Теңдеуді шешіңіз: $\cos 2x = 2\cos x \cos 5x-1$

1. 1
   Преобразуем правую часть: $2\cos x \cos 5x = \cos(5x+x) + \cos(5x-x) = \cos 6x + \cos 4x$. Уравнение становится $\cos 2x = \cos 6x + \cos 4x - 1$.
2. 2
   Переносим всё в левую часть: $\cos 2x - \cos 4x - \cos 6x + 1 = 0$. Группируем: $(\cos 2x + 1) - (\cos 4x + \cos 6x) = 0$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите сумму (x+y), где (x;y) — решение системы уравнений: $\begin{cases} x^2-5y^2 +4

Найдите сумму $(x+y)$, где $(x;y)$ — решение системы уравнений: $\begin{cases} x^2-5y^2 +4=0, \\ \log_4x-\log_4y=0 \end{cases}$

1. 1
   Из второго уравнения $\log_4 x - \log_4 y = 0$ следует, что $\log_4 \frac{x}{y} = 0$, поэтому $\frac{x}{y} = 4^0 = 1$, откуда $x = y$.
2. 2
   Подставляем $x = y$ в первое уравнение: $x^2 - 5x^2 + 4 = 0 \Rightarrow -4x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 1$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите уравнение 5ˣ⁻³ - 5ˣ⁻⁴ = 16 · 5ˣ⁻⁵ + 4. Выберите промежутки, в которы

Решите уравнение $5^{x-3} - 5^{x-4} = 16 \cdot 5^{x-5} + 4$. Выберите промежутки, в которые входит решение данного уравнения

Найдите произведение корней показательного уравнения $2^{x^{2}-1}-3^{x^{2}}=3^{x^{2}-1}-2^

Найдите произведение корней показательного уравнения $2^{x^{2}-1}-3^{x^{2}}=3^{x^{2}-1}-2^{x^{2}+2}$.

Дано уравнение. Сопоставьте:

Дано уравнение. Сопоставьте следующее:

Решите показательное уравнение: 3 · 2ˣ + 5 = 2²ˣ⁺¹

Решите показательное уравнение: $3 \cdot 2^x + 5 = 2^{2x+1}$