Шешімі: Теңдеуді шешіңіз: cos x · sin 5x = cos 2x · sin 4x
Теңдеуді шешіңіз: $\cos x \cdot \sin 5x = \cos 2x \cdot \sin 4x$
Шешім по шагам
5 қадамПрименяем формулы преобразования произведения в сумму: $\cos A \sin B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) - \sin(A-B)]$ к обеим частям уравнения.
Левая часть: $\frac{1}{2}[\sin(6x) - \sin(4x)]$, правая часть: $\frac{1}{2}[\sin(6x) - \sin(2x)]$. После сокращения $\frac{1}{2}$ и переноса получаем $\sin(4x) = \sin(2x)$.
Решаем уравнение $\sin(4x) = \sin(2x)$. Используем условие равенства синусов: $\sin \alpha = \sin \beta \Rightarrow \alpha = \beta + 2\pi k$ или $\alpha = \pi - \beta + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.
Первый случай: $4x = 2x + 2\pi k \Rightarrow 2x = 2\pi k \Rightarrow x = \pi k$.
Второй случай: $4x = \pi - 2x + 2\pi k \Rightarrow 6x = \pi + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.
Объединяя оба семейства решений: $x = \pi n$ и $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.
Где здесь ошибаются
Забыть второй случай при решении $\sin(4x)=\sin(2x)$ и получить только $x=\pi n$ (нұсқа A или E).
Ошибочно применить формулы сложения или вычесть углы неверно (например, получить $\sin(6x)=\sin(2x)$ вместо правильного сокращения).
Считать, что период решений равен $2\pi$ и записать $x = 2\pi n$ или подобные варианты (D, E), не учитывая более частые решения из второго семейства.