Решение: Решите систему уравнений: log₄x + log₄y = 1 ; y + 2x = 9
Решите систему уравнений: $\begin{cases} \log_4x + \log_4y = 1 \\ y + 2x = 9 \end{cases}$
Решение по шагам
4 шагаИз первого уравнения используем свойство логарифма суммы: $\log_4 x + \log_4 y = \log_4 (xy) = 1$, откуда $xy = 4^1 = 4$.
$$\log_4 x + \log_4 y = \log_4(xy) = 1 \implies xy = 4$$Подставляем $y = \frac{4}{x}$ во второе уравнение: $\frac{4}{x} + 2x = 9$. Умножаем обе стороны на $x$ (при условии $x \ne 0$): $4 + 2x^2 = 9x$ → $2x^2 - 9x + 4 = 0$.
$$\frac{4}{x} + 2x = 9 \implies 4 + 2x^2 = 9x \implies 2x^2 - 9x + 4 = 0$$Решаем квадратное уравнение: дискриминант $D = (-9)^2 - 4\cdot2\cdot4 = 81 - 32 = 49$, корни: $x = \frac{9 \pm 7}{4}$ → $x_1 = 4$, $x_2 = 0.5$. Тогда $y = \frac{4}{x}$: при $x=4$ → $y=1$; при $x=0.5$ → $y=8$.
$$x = \frac{9 \pm \sqrt{49}}{4} = \frac{9 \pm 7}{4} \implies x_1=4,\ x_2=0.5 \implies y_1=1,\ y_2=8$$Проверяем область определения логарифмов: $x>0$, $y>0$ — оба решения удовлетворяют. Значит, решения: $(4;1)$ и $(0.5;8)$.
Где здесь ошибаются
Забыли проверить область определения логарифма (x>0, y>0) и включили недопустимые решения.
Перепутали порядок пар в ответе: например, записали (8;0.5) вместо (0.5;8).
Ошиблись при решении квадратного уравнения: неправильно посчитали дискриминант или знаки при корнях.