В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известно, что $AB = 9$, $BC = 6$, $AA_1 = 5$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $B$, $C$, $B_1$.
- 1
Основанием тетраэдра $ABCB_1$ выберем треугольник $ABC$. Он прямоугольный, так как $AB \perp BC$.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 6 = 27$$
- 2
Высота тетраэдра равна ребру $BB_1$, а в прямоугольном параллелепипеде $BB_1 = AA_1 = 5$.$$h = 5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Во сколько раз уменьшится объём конуса, если его высота уменьшится в 9 раз, а радиус основания останется прежним?
- 1
Объём конуса вычисляется по формуле:$$V = \dfrac{1}{3}\pi r^2h$$
- 2
Радиус основания остаётся прежним, поэтому множитель $\dfrac{1}{3}\pi r^2$ не изменяется. Объём прямо пропорционален высоте.$$\frac{V_2}{V_1} = \frac{h_2}{h_1} = \frac{1}{9}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Дана правильная треугольная призма $ABC A_1B_1C_1$, площадь основания которой равна $8$, а боковое ребро равно $6$. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки $A$, $C$, $A_1$…
- 1
Обозначим высоту призмы через $h=6$, а площадь её основания через $S_0=8$.
- 2
На высоте $x$ сечение искомого многогранника представляет собой трапецию, площадь которой выражается формулой$$S(x)=S_0\left(2\frac{x}{h}-\left(\frac{x}{h}\right)^2\right)$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Объём куба равен 144. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из…
- 1
Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда объём куба равен $a^3=144$.
- 2
Сечение плоскостью в грани, перпендикулярной третьему ребру, представляет собой прямоугольный треугольник с катетами $\dfrac{a}{2}$ и $\dfrac{a}{2}$.
Ещё 2 шага — в полном решении
Дано два цилиндра. Объём первого цилиндра равен 15. У второго цилиндра высота в 3 раза меньше, а радиус основания в 2 раза больше, чем у первого. Найдите объём второго цилиндра.
- 1
Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = \pi r^2h$. При переходе от первого цилиндра ко второму радиус увеличивается в 2 раза, поэтому множитель для $r^2$ равен $2^2 = 4$.$$r_2^2 = (2r_1)^2 = 4r_1^2$$
- 2
Высота второго цилиндра в 3 раза меньше, поэтому $h_2 = \dfrac{h_1}{3}$. Следовательно, объём второго цилиндра в $\dfrac{4}{3}$ раза больше объёма первого.$$V_2 = V_1 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{3}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Объём куба равен 80. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из…
- 1
Пусть ребро куба равно $a$. Основанием отсечённой призмы является прямоугольный треугольник на грани куба. Его катеты равны половинам рёбер куба:$$b=c=\dfrac{a}{2}$$
- 2
Площадь основания призмы равна:$$S=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{2}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2}{8}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр шара, равна 12. Найдите площадь поверхности шара.
- 1
Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, является большим кругом. Его площадь равна 12:$$\pi r^2 = 12$$
- 2
Площадь поверхности шара в четыре раза больше площади большого круга:$$S = 4\pi r^2 = 4 \cdot 12 = 48$$
В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 4 из Аргентины, 7 из Бразилии, 5 из Парагвая и 4 из Уругвая. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием…
- 1
Определим общее число спортсменов:$$4+7+5+4=20$$
- 2
Благоприятными являются 7 случаев, когда первым выступает спортсмен из Бразилии.$$P=\dfrac{7}{20}=0{,}35$$
В сборнике билетов по математике всего 48 билетов, в 12 из них встречается вопрос по теме «Логарифмы». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется…
- 1
Найдём число билетов, в которых нет вопроса по теме «Логарифмы».$$48 - 12 = 36$$
- 2
Вероятность выбирается как отношение числа подходящих билетов к общему числу билетов.$$P = \dfrac{36}{48} = 0{,}75$$
На конференцию приехали учёные из трёх стран: 12 из Португалии, 7 из Финляндии и 11 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите…
- 1
Найдём общее число учёных:$$12+7+11=30$$
- 2
Из-за случайного порядка каждый из 30 учёных с одинаковой вероятностью может оказаться седьмым. Благоприятных учёных 12 — из Португалии.$$P=\dfrac{12}{30}=0{,}4$$
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 75 спортсменов, среди них 15 спортсменов из Италии и 13 спортсменов из Канады. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…
- 1
Из-за случайной жеребьёвки каждый из 75 спортсменов с одинаковой вероятностью может выступать четвёртым.
- 2
Благоприятными являются 15 спортсменов из Италии.$$P = \dfrac{15}{75} = 0{,}2$$
Фабрика выпускает сумки. В среднем 3 сумки из 50 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без скрытых дефектов.
- 1
Вероятность того, что сумка имеет скрытый дефект, равна отношению числа дефектных сумок к общему числу сумок:$$P(\text{дефект}) = \dfrac{3}{50}$$
- 2
Событие «сумка без скрытого дефекта» является противоположным событию «сумка имеет скрытый дефект». Поэтому:$$P(\text{без дефекта}) = 1 - \dfrac{3}{50} = \dfrac{47}{50} = 0{,}94$$
В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 13 из Великобритании, 7 из Франции, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность…
- 1
Найдём число спортсменок из Германии:$$50 - 13 - 7 = 30$$
- 2
Благоприятными являются 30 исходов из 50 возможных, поэтому вероятность равна:$$P = \dfrac{30}{50} = 0{,}6$$
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 3 прыгуна из Голландии и 6 прыгунов из Аргентины. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…
- 1
Тринадцатым с одинаковой вероятностью может выступить любой из 40 спортсменов.
- 2
Благоприятными являются 6 спортсменов из Аргентины.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В соревнованиях по толканию ядра участвуют спортсмены из четырёх стран: 18 из Эстонии, 11 из Латвии, 15 из Литвы и 6 из Польши. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите…
- 1
Найдём общее число спортсменов:$$18+11+15+6=50$$
- 2
Благоприятными являются случаи, когда первым выступает один из 15 спортсменов из Литвы.$$P=\dfrac{15}{50}=0{,}3$$
Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 50 выступлений: по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 20…
- 1
Определим количество выступлений, распределённых между вторым, третьим и четвёртым днями:$$50 - 20 = 30$$
- 2
Так как выступления поровну распределены между тремя оставшимися днями, во второй день запланировано:$$30 : 3 = 10$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 60 спортсменов, среди них 19 спортсменов из Голландии и 24 спортсмена из Дании. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…
- 1
Так как порядок выступлений определяется случайной жеребьёвкой, каждый из 60 спортсменов имеет одинаковую вероятность выступать четвёртым.$$n = 60$$
- 2
Благоприятными являются 24 спортсмена из Дании.$$m = 24$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Дима, Марат, Петя, Надя и Света бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
- 1
Всего в жребии участвуют 5 человек: Дима, Марат, Петя, Надя и Света.
- 2
Мальчиков трое: Дима, Марат и Петя. Поэтому число благоприятных исходов равно 3.
Ещё 1 шаг — в полном решении
Игральную кость бросили два раза. Известно, что шесть очков не выпало ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма очков равна 10».
- 1
Так как шестёрка не выпадала ни разу, каждый из двух бросков может дать только один из пяти результатов: от 1 до 5. Число равновероятных пар результатов равно$$5 \cdot 5 = 25$$
- 2
Сумма очков равна 10 только при результате $(5;5)$, то есть благоприятен один исход.$$P = \frac{1}{25}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно один раз.
- 1
При двух бросках симметричной монеты возможны четыре равновероятных исхода: орёл—орёл, орёл—решка, решка—орёл, решка—решка.
- 2
Ровно одна решка выпадает в двух исходах: орёл—решка и решка—орёл.$$P = \dfrac{2}{4} = 0{,}5$$