Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Миши было четыре конфеты — «Коровка», «Белочка», «Мишка» и «Красная шапочка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность…

1. 1
   Всего в кармане было 4 конфеты, поэтому возможны 4 равновероятных исхода.$$n = 4$$
2. 2
   Только одна конфета — «Белочка» — соответствует требуемому событию.$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность того, что оба автомата неисправны, равна произведению их вероятностей.$$P = 0{,}1 \cdot 0{,}1$$
2. 2
   Вычисляем произведение.$$P = 0{,}01$$

Вероятность доклада в день

Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 60 докладов: первые два дня — по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется…

1. 1
   Определим количество докладов, запланированных на третий и четвёртый дни:$$60 - 2 \cdot 12 = 36$$
2. 2
   Доклады поровну распределены между третьим и четвёртым днями, поэтому на последний день приходится:$$36 : 2 = 18$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перегорание двух ламп

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,04. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

1. 1
   События перегорания первой и второй лампы считаем независимыми.$$P(A \cap B)=P(A)P(B)$$
2. 2
   Подставим вероятность перегорания одной лампы.$$P=0{,}04 \cdot 0{,}04=0{,}0016$$

Вероятность неповреждения стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,79. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Событие, состоящее в том, что стекло не разобьётся, является противоположным событию, состоящему в том, что стекло разобьётся.$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Вычислим искомую вероятность:$$1 - 0{,}79 = 0{,}21$$

Вероятность выбрать гуся

На птицеферме есть только куры и гуси, причём кур в 24 раза больше, чем гусей. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме птица окажется гусем.

1. 1
   Пусть на ферме $x$ гусей. Тогда кур в 24 раза больше, то есть $24x$.$$N_{\text{кур}} = 24x$$
2. 2
   Общее количество птиц равно $25x$. Вероятность выбрать гуся равна отношению числа гусей к общему числу птиц.$$P = \dfrac{x}{25x} = \dfrac{1}{25} = 0{,}04$$

Вероятность одного из событий

В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения, которого нет в меню. Вероятность того, что в качестве комплимента от заведения принесут фруктовый мусс, равна 0,35…

1. 1
   События «принесут фруктовый мусс» и «принесут рогалик» несовместимы, поскольку приносят только один комплимент.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$
2. 2
   Подставим известные вероятности:$$P(A \cup B) = 0{,}35 + 0{,}35 = 0{,}7$$

Вероятность двух неисправных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,25. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся…

1. 1
   События, состоящие в неисправности первой и второй батарейки, считаем независимыми.$$P = P_1 \cdot P_2$$
2. 2
   Вероятность неисправности каждой батарейки равна 0,25, поэтому перемножаем эти вероятности.$$P = 0{,}25 \cdot 0{,}25 = 0{,}0625$$

Вероятность пирожка с вишней

На тарелке лежат одинаковые на вид пирожки: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что этот пирожок окажется с вишней.

1. 1
   Определим общее число пирожков на тарелке:$$4 + 8 + 3 = 15$$
2. 2
   Благоприятными являются пирожки с вишней, их 3. Вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:$$P = \dfrac{3}{15} = 0{,}2$$

Вероятность двух бракованных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,2. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся…

1. 1
   События, связанные с неисправностью двух батареек, считаем независимыми.$$P = P_1 \cdot P_2$$
2. 2
   Вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными, равна произведению двух вероятностей, каждая из которых равна $0{,}2$.$$P = 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04$$

Вероятность вопроса по теме

В сборнике билетов по химии всего 50 билетов, в 14 из них встречается вопрос по теме «Соли». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме…

1. 1
   Вероятность равна отношению числа билетов с вопросом по теме «Соли» к общему числу билетов.$$P = \dfrac{14}{50}$$
2. 2
   Сократим дробь и представим результат в виде десятичной дроби.$$\dfrac{14}{50} = 0{,}28$$

Вероятность двух решек

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпадет решка.

1. 1
   При одном броске симметричной монеты вероятность выпадения решки равна $\dfrac{1}{2}$.
2. 2
   Броски независимы, поэтому вероятность выпадения решки оба раза равна произведению вероятностей:$$P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}=0.25$$

Вероятность выбрать гуся

На птицеферме есть только куры и гуси, причём кур в 49 раз больше, чем гусей. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме птица окажется гусем.

1. 1
   Пусть на ферме $x$ гусей. Тогда кур в 49 раз больше, то есть $49x$.$$N_{\text{кур}} = 49x$$
2. 2
   Общее число птиц равно $x + 49x = 50x$.$$N_{\text{всего}} = 50x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность первой группы

В чемпионате мира участвуют 8 команд, среди которых есть команда России. С помощью жеребьёвки их нужно разделить на две группы, по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с…

1. 1
   Для команды России равновероятно вытянуть любую из 8 карточек.
2. 2
   Благоприятными являются 4 карточки с номером первой группы.$$P = \dfrac{4}{8} = 0{,}5$$

Вероятность выступления китайца

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 40 спортсменов, среди них 7 спортсменов из России и 6 спортсменов из Китая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что…

1. 1
   Поскольку порядок выступлений определяется случайной жеребьёвкой, каждый из 40 спортсменов имеет одинаковую вероятность выступать пятым.
2. 2
   Благоприятными являются 6 спортсменов из Китая.$$P = \dfrac{6}{40} = 0{,}15$$

Вероятность выбрать зелёный чай

В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 3 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно…

1. 1
   Пусть количество пакетиков с зелёным чаем равно $x$. Тогда пакетиков с чёрным чаем $3x$, а всего пакетиков $4x$.$$N = x + 3x = 4x$$
2. 2
   Вероятность выбрать пакетик с зелёным чаем равна отношению числа зелёных пакетиков к общему числу пакетиков.$$P = \dfrac{x}{4x} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$$

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,3 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность их одновременного наступления равна произведению вероятностей.$$P = 0{,}3 \cdot 0{,}3$$
2. 2
   Вычислим произведение:$$P = 0{,}09$$

Вероятность неповреждения стекла

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,75. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Событие «стекло не разобьётся» противоположно событию «стекло разобьётся».$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность:$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25$$

Вероятность отсутствия дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 125 сумок, поступивших в продажу, 5 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без скрытого дефекта.

1. 1
   Определим количество сумок без скрытого дефекта:$$125 - 5 = 120$$
2. 2
   Разделим число сумок без дефекта на общее количество сумок:$$P = \dfrac{120}{125} = 0{,}96$$

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Миши было четыре конфеты — «Красная шапочка», «Маска», «Взлётная» и «Белочка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите…

1. 1
   Всего в кармане было четыре конфеты, и каждая из них могла выпасть с одинаковой вероятностью.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятный исход только один — выпадение конфеты «Маска».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении