Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Вероятность удобного места

На борту самолёта 25 мест рядом с запасными выходами и 15 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Б. высокого роста. Найдите…

1. 1
   Удобными для пассажира высокого роста являются места рядом с запасными выходами и места за перегородками.$$25 + 15 = 40$$
2. 2
   Вероятность случайного получения удобного места равна отношению числа удобных мест к общему числу мест.$$P = \dfrac{40}{500} = 0{,}08$$

Вероятность протечки насоса

В среднем из 200 садовых насосов, поступивших в продажу, 8 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос подтекает.

1. 1
   Число благоприятных исходов — 8 подтекающих насосов, общее число исходов — 200 насосов.$$P = \dfrac{8}{200}$$
2. 2
   Вычислим значение вероятности:$$P = \dfrac{8}{200} = 0{,}04$$

Вероятность последнего выступления

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Дании, 3 спортсмена из Швеции, 8 спортсменов из Норвегии и 5 спортсменов из Финляндии. Порядок, в котором выступают спортсмены…

1. 1
   Найдём общее количество спортсменов:$$9 + 3 + 8 + 5 = 25$$
2. 2
   Благоприятными являются 5 случаев, когда последним выступает спортсмен из Финляндии.$$P = \dfrac{5}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность белого шара

В ящике находятся чёрные и белые шары, причём чёрных в 3 раза больше, чем белых. Из ящика случайным образом достали один шар. Найдите вероятность того, что он будет белым.

1. 1
   Пусть белых шаров $x$, тогда чёрных шаров $3x$.
2. 2
   Общее число шаров равно $x+3x=4x$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбора болгарской спортсменки

В чемпионате по гимнастике участвуют 50 спортсменок: 14 из Венгрии, 20 из Румынии, остальные — из Болгарии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того…

1. 1
   Найдём число спортсменок из Болгарии:$$50 - 14 - 20 = 16$$
2. 2
   Так как порядок выступления определяется жребием, каждая спортсменка имеет одинаковую вероятность выступить первой.$$P = \dfrac{16}{50}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перегорание двух ламп

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,15. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

1. 1
   События перегорания первой и второй ламп считаем независимыми.$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
2. 2
   Подставим вероятность перегорания одной лампы:$$P(A \cap B) = 0{,}15 \cdot 0{,}15 = 0{,}0225$$

Вероятность выученного билета

На экзамене будет 25 билетов. Костя не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Определим число выученных билетов:$$25 - 4 = 21$$
2. 2
   Вероятность того, что попадётся выученный билет, равна отношению числа выученных билетов к общему числу билетов:$$P = \dfrac{21}{25} = 0{,}84$$

Вероятность выбрать гуся

На птицеферме есть только куры и гуси, причём кур в 4 раза больше, чем гусей. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме птица окажется гусем.

1. 1
   Пусть на ферме $x$ гусей. Тогда кур в 4 раза больше, то есть $4x$.$$N_{\text{куры}}=4x$$
2. 2
   Общее количество птиц равно $x+4x=5x$.$$N_{\text{всего}}=5x$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Вани было четыре конфеты — «Белочка», «Маска», «Ласточка» и «Грильяж», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Ваня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того…

1. 1
   Всего у Вани было четыре конфеты, и каждая из них с одинаковой вероятностью могла выпасть.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятным является только один исход — выпадение конфеты «Маска».$$m = 1$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перегорание двух ламп

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

1. 1
   События перегорания первой и второй ламп считаем независимыми.$$P(A \cap B)=P(A)P(B)$$
2. 2
   Подставим вероятность перегорания одной лампы:$$P(A \cap B)=0{,}3 \cdot 0{,}3=0{,}09$$

Вероятность выбора игрока

Вася, Петя, Олег, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру будет Вася или Петя.

1. 1
   Всего возможны 5 равновероятных вариантов выбора начинающего игрока.$$n = 5$$
2. 2
   Подходят два варианта: начинать игру будет Вася или Петя.$$m = 2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность выбрать синюю чашку

У бабушки 20 чашек: 2 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$20 - 2 = 18$$
2. 2
   Вероятность выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{18}{20} = 0{,}9$$

Вероятность исправного насоса

В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 насоса подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Вероятность того, что случайно выбранный насос подтекает:$$P(A)=\dfrac{4}{2000}=0{,}002$$
2. 2
   Событие «насос не подтекает» является противоположным событию $A$:$$P(\overline{A})=1-P(A)=1-0{,}002=0{,}998$$

Вероятность первой группы

В чемпионате мира участвуют 20 команд, среди которых есть команда Франции. С помощью жеребьёвки их нужно разделить на четыре группы, по пять команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с…

1. 1
   Благоприятными являются карточки с номером 1. Таких карточек 5.
2. 2
   Общее число карточек равно 20. Поэтому вероятность попадания команды Франции в первую группу равна:$$P = \dfrac{5}{20} = 0{,}25$$

Вероятность спортсмена из Франции

В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 спортсменов из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены…

1. 1
   Определим общее число спортсменов:$$6 + 3 + 6 + 10 = 25$$
2. 2
   Благоприятными являются случаи, когда последним выступает один из 3 спортсменов из Франции.$$P = \dfrac{3}{25}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вероятность скрытого дефекта

Фабрика выпускает сумки. В среднем из 150 сумок, поступивших в продажу, 3 сумки имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется со скрытым дефектом.

1. 1
   Число благоприятных исходов равно 3, а общее число исходов равно 150.
2. 2
   Вероятность выбрать сумку со скрытым дефектом равна отношению числа дефектных сумок к общему числу сумок.$$P = \dfrac{3}{150} = 0.02$$

Вероятность исправного насоса

В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Найдём количество насосов, которые не подтекают:$$1400-14=1386$$
2. 2
   Вероятность выбрать насос, который не подтекает, равна отношению числа исправных насосов к общему числу насосов:$$P=\dfrac{1386}{1400}=0{,}99$$

Вероятность двух бракованных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,5. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся бракованными.

1. 1
   События, связанные с качеством двух батареек, считаем независимыми.$$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B)$$
2. 2
   Подставим вероятность брака каждой батарейки:$$P=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25$$

Вероятность удобного места

На борту самолёта 24 места расположены рядом с запасными выходами и 12 мест — за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир Г. высокого…

1. 1
   Удобными для пассажира высокого роста являются места рядом с запасными выходами и места за перегородками.$$24 + 12 = 36$$
2. 2
   Вероятность случайно получить удобное место равна отношению числа удобных мест к общему числу мест.$$P = \dfrac{36}{100} = 0{,}36$$

Вероятность выбора билета

В сборнике билетов по истории всего 25 билетов, в 18 из них встречается вопрос по теме «Великая Отечественная Война». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику…

1. 1
   Общее число билетов равно 25, а благоприятных билетов — 18.$$n=25,\quad m=18$$
2. 2
   Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов.$$P=\dfrac{m}{n}=\dfrac{18}{25}=0{,}72$$