ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ЕГЭ по базалық математикаға: «Теория вероятностей» — жауаптарымен

Вероятность исправного насоса

В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 насосов подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

1. 1
   Найдём число насосов, которые не подтекают:$$500 - 5 = 495$$
2. 2
   Вероятность выбрать насос, который не подтекает, равна отношению числа исправных насосов к общему числу насосов:$$P = \dfrac{495}{500} = 0{,}99$$

Вероятность выбора комплимента

В кафе каждому посетителю приносят бесплатно один комплимент от заведения. Вероятность того, что в качестве комплимента принесут фруктовый мусс, равна 0,35. Вероятность того, что принесут мороженое…

1. 1
   События «принесут фруктовый мусс» и «принесут мороженое» несовместны, поскольку посетителю приносят только один комплимент.$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$$
2. 2
   Складываем данные вероятности:$$P=0{,}35+0{,}2=0{,}55$$

Вероятность доклада из России

На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым…

1. 1
   Определим общее число учёных:$$6+5+9=20$$
2. 2
   Из-за случайного порядка докладов вероятность того, что восьмым будет доклад учёного из России, равна доле российских учёных среди всех участников:$$P=\dfrac{5}{20}=0{,}25$$

Перегорание двух ламп

Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,25. Найдите вероятность того, что в течение года обе лампы перегорят.

1. 1
   Перегорание первой и второй ламп считаем независимыми событиями.$$P(A \cap B)=P(A)P(B)$$
2. 2
   Подставим вероятность перегорания одной лампы:$$P=0{,}25\cdot0{,}25=0{,}0625$$

Вероятность делимости на 33

Найдите вероятность того, что случайно выбранное трёхзначное число делится на 33.

1. 1
   Всего трёхзначных чисел от 100 до 999:$$999 - 100 + 1 = 900$$
2. 2
   Наименьшее трёхзначное число, делящееся на 33, равно $33 \cdot 4 = 132$, а наибольшее — $33 \cdot 30 = 990$. Количество таких чисел:$$30 - 4 + 1 = 27$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вероятность выученного билета

На экзамене будет 40 билетов, Сеня не выучил 8 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Определим число выученных билетов:$$40 - 8 = 32$$
2. 2
   Вероятность того, что попадётся выученный билет, равна отношению числа выученных билетов к общему числу билетов:$$P = \dfrac{32}{40} = 0.8$$

Вероятность выпадения конфеты

В кармане у Ромы было четыре конфеты — «Грильяж», «Ласточка», «Взлётная» и «Коровка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Рома случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность…

1. 1
   Всего в кармане было төрт конфеты, и каждая из них могла упасть с одинаковой вероятностью.$$n = 4$$
2. 2
   Благоприятный исход только один — падение конфеты «Ласточка».$$m = 1$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вероятность синей чашки

У бабушки 15 чашек: 9 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает внуку чай в случайно взятую чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$15 - 9 = 6$$
2. 2
   Вероятность случайно выбрать чашку с синими цветами равна отношению числа синих чашек к общему числу чашек:$$P = \dfrac{6}{15} = 0{,}4$$

Вероятность противоположного события

Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,83. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного…

1. 1
   Событие, при котором стекло не разобьётся, является противоположным событию, при котором оно разобьётся.$$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$
2. 2
   Подставим известную вероятность и выполним вычитание.$$P(\overline{A}) = 1 - 0{,}83 = 0{,}17$$

Вероятность пригодного диска

Из 1200 чистых компакт-дисков в среднем 72 непригодны для записи. Какова вероятность того, что случайно выбранный компакт-диск пригоден для записи?

1. 1
   Найдём количество компакт-дисков, пригодных для жазбалар:$$1200 - 72 = 1128$$
2. 2
   Вероятность выбрать пригодный диск равна отношению числа пригодных дисков к общему числу дисков:$$P = \dfrac{1128}{1200} = 0{,}94$$

Вероятность выбрать гуся

На птицеферме есть только куры и гуси, причём кур в 199 раз больше, чем гусей. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме птица окажется гусем.

1. 1
   Пусть на ферме $x$ гусей. Тогда кур в 199 раз больше, то есть $199x$.$$N_{\text{кур}} = 199x$$
2. 2
   Общее число птиц равно сумме числа кур и гусей.$$N = 199x + x = 200x$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вероятность объединения событий

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,25. Вероятность того, что это вопрос…

1. 1
   Обозначим события: $A$ — вопрос по теме «Тригонометрия», $B$ — вопрос по теме «Внешние углы». Эти события несовместны, так как вопросов, относящихся к обеим темам, нет.$$P(A \cap B)=0$$
2. 2
   Для несовместных событий вероятность наступления хотя бы бір из них равна сумме вероятностей.$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)=0{,}25+0{,}15=0{,}4$$

Вероятность выбрать гуся

На птицеферме есть только куры и гуси, причём кур в 99 раз больше, чем гусей. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме птица окажется гусем.

1. 1
   Пусть на ферме $x$ гусей. Тогда кур в 99 раз больше, то есть $99x$.$$N_{\text{куры}} = 99x$$
2. 2
   Общее количество птиц равно сумме количества кур и гусей.$$N_{\text{всего}} = 99x + x = 100x$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вероятность двух побед

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет владеть мячом в начале матча. Команда «Физик» играет два матча с разными командами. Найдите вероятность…

1. 1
   В каждом матче вероятность того, что команда «Физик» выиграет мяч, равна $\dfrac{1}{2}$.$$P_1 = \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Броски монеты в двух матчах независимы, поэтому вероятность двух побед равна произведению вероятностей.$$P = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} = 0.25$$

Вероятность проигрыша мяча

Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд будет владеть мячом в начале матча. Команда «Физик» играет два матча с разными командами. Найдите вероятность…

1. 1
   В каждом матче вероятность того, что команда «Физик» проиграет мяч, равна $\dfrac{1}{2}$.$$P(A)=\frac{1}{2}$$
2. 2
   Результаты бросков монетки в двух матчах независимы, поэтому перемножаем вероятности.$$P=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0{,}25$$

Вероятность попасть в аудиторию

На олимпиаде по русскому языку 400 участников собираются разместить в трёх аудиториях: в первых двух аудиториях — по 120 человек, оставшихся — в запасной аудитории в другом корпусе. Найдите…

1. 1
   Найдём количество қатысушылар, размещённых в первых двух аудиториях.$$2 \cdot 120 = 240$$
2. 2
   Определим количество қатысушылар в запасной аудитории.$$400 - 240 = 160$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Вероятность выученного билета

На экзамене будет 20 билетов, Андрей не выучил 1 из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

1. 1
   Определим число выученных билетов:$$20 - 1 = 19$$
2. 2
   Вероятность того, что попадётся выученный билет, равна отношению числа выученных билетов к общему числу билетов:$$P = \dfrac{19}{20} = 0{,}95$$

Вероятность синей чашки

У бабушки 20 чашек: 14 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.

1. 1
   Найдём количество чашек с синими цветами:$$20 - 14 = 6$$
2. 2
   Все 20 чашек равновероятно могут быть выбраны, поэтому вероятность выбрать синюю чашку равна:$$P = \dfrac{6}{20} = 0{,}3$$

Вероятность неисправности автоматов

В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что оба автомата неисправны.

1. 1
   События неисправности первого и второго автоматов независимы, поэтому вероятность того, что оба автомата неисправны, равна произведению вероятностей.$$P = 0{,}05 \cdot 0{,}05$$
2. 2
   Вычислим произведение.$$P = 0{,}0025$$

Вероятность двух неисправных батареек

Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,01. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся…

1. 1
   События, связанные с неисправностью двух батареек, считаем независимыми.$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$
2. 2
   Вероятность того, что обе батарейки окажутся неисправными, равна:$$0{,}01 \cdot 0{,}01 = 0{,}0001$$