Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Планиметрия» — с ответами

Площадь окрашенных ступеней

Пять ступеней лестницы покрасили в тёмный цвет, как показано на рисунке (штриховкой). Найдите площадь окрашенной поверхности, если глубина каждой ступеньки равна 25 см, высота — 15 см, а ширина — 80…

1. 1
   Площадь горизонтальных поверхностей пяти ступеней:$$S_1 = 5 \cdot 25 \cdot 80 = 10000\ \text{см}^2$$
2. 2
   Площадь вертикальных поверхностей пяти ступеней:$$S_2 = 5 \cdot 15 \cdot 80 = 6000\ \text{см}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность площадей комнаты

На плане указано, что прямоугольная комната имеет площадь 30 кв. м. Точные измерения показали, что ширина комнаты равна 5 м, а длина 6,1 м. На сколько квадратных метров площадь комнаты отличается от…

1. 1
   Найдём площадь комнаты по результатам точных измерений.$$S = 5 \cdot 6{,}1 = 30{,}5\ \text{м}^2$$
2. 2
   Вычислим, на сколько квадратных метров точная площадь отличается от площади на плане.$$30{,}5 - 30 = 0{,}5\ \text{м}^2$$

Высота опоры горки

Столб подпирает детскую горку посередине. Найдите высоту $l$ этого столба, если высота $h$ горки равна 3,9 м. Ответ дайте в метрах.

1. 1
   Столб установлен под серединой наклонной стороны горки. По подобию треугольников его высота составляет половину высоты всей горки.$$l = \dfrac{h}{2}$$
2. 2
   Подставим значение $h = 3{,}9$ м:$$l = \dfrac{3{,}9}{2} = 1{,}95$$

Угол между спицами

Колесо имеет 18 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   18 одинаковых углов между соседними спицами составляют полный угол вокруг центра колеса.$$18\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Найдём величину одного угла:$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{18} = 20^\circ$$

Площадь всей квартиры

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Кухня имеет размеры $3{,}5\ \text{м} \times 3{,}5\ \text{м}$, первая комната — $3{,}5\ \text{м} \times 4{,}5\ \text{м}$…

1. 1
   По чертежу ширина всей квартиры складывается из ширины санузла и длины коридора:$$1{,}5 + 10{,}5 = 12$$
2. 2
   Высота всей квартиры складывается из высоты верхней части и высоты коридора:$$3{,}5 + 2 = 5{,}5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 40 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно огородить участок, если предусмотрен проезд шириной 3 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(30+40) = 140\ \text{м}$$
2. 2
   Так как проезд имеет ширину 3 м, длина забора будет на 3 м меньше периметра:$$140-3=137\ \text{м}$$

Длина провода к дому

От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который закреплён на стене дома на высоте 3 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба равно 12 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в…

1. 1
   Провод, горизонтальное расстояние между столбом и домом и разность высот образуют прямоугольный треугольник.
2. 2
   Вертикальный катет равен разности высот столба и точки крепления провода:$$12 - 3 = 9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь коридора квартиры

Квартира состоит из двух комнат, кухни, коридора и санузла (см. чертёж). Первая комната имеет размеры 3,5 м × 4,5 м, вторая — 3,5 м × 5 м, кухня имеет размеры 3,5 м × 3 м, санузел — 2 м × 2 м…

1. 1
   Найдём площадь всей квартиры. Её длина равна сумме ширин помещений верхнего ряда, а ширина — сумме высот комнат и нижнего ряда.$$S_{\text{кв}} = (3 + 4{,}5 + 5)(3{,}5 + 2) = 12{,}5 \cdot 5{,}5 = 68{,}75$$
2. 2
   Найдём суммарную площадь двух комнат, кухни и санузла.$$S_{\text{пом}} = 3{,}5 \cdot 4{,}5 + 3{,}5 \cdot 5 + 3{,}5 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 47{,}75$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли имеет прямоугольную форму. Стороны прямоугольника равны 30 м и 70 м. Найдите длину забора (в метрах), которым нужно обнести участок, предусмотрев проезд шириной 4 м.

1. 1
   Найдём периметр прямоугольного участка:$$P = 2(30+70) = 200\ \text{м}$$
2. 2
   Проезд шириной 4 м не закрывается забором, поэтому вычтем его длину из периметра:$$200-4=196\ \text{м}$$

Угол между спицами

Колесо имеет 40 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Спицы делят полный угол вокруг центра колеса на 40 равных углов.$$360^\circ : 40$$
2. 2
   Находим величину одного угла:$$\dfrac{360^\circ}{40}=9^\circ$$

Высота прямоугольного экрана

Диагональ прямоугольного экрана ноутбука равна 40 см, а ширина экрана 32 см. Найдите высоту экрана.

1. 1
   Диагональ и стороны прямоугольника образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:$$h^2 + 32^2 = 40^2$$
2. 2
   Найдём квадрат высоты:$$h^2 = 40^2 - 32^2 = 1600 - 1024 = 576$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Угол между спицами

Колесо имеет 30 спиц. Углы между любыми двумя соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   30 спиц делят полный угол вокруг центра колеса на 30 равных углов.$$360^\circ : 30$$
2. 2
   Вычислим величину одного угла:$$360 : 30 = 12$$

Угол между спицами

Колесо имеет 10 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите величину угла (в градусах), который образуют две соседние спицы.

1. 1
   Десять одинаковых углов между соседними спицами образуют полный угол.$$10\alpha = 360^\circ$$
2. 2
   Находим величину одного угла:$$\alpha = \dfrac{360^\circ}{10}=36^\circ$$

Длина провода к дому

От столба высотой 12 м к дому натянут провод, который закреплён на стене дома на высоте 4 м от земли (см. рисунок). Расстояние от дома до столба равно 15 м. Найдите длину провода. Ответ дайте в…

1. 1
   Разность высоты столба и высоты крепления провода на доме равна:$$12-4=8\text{ м}$$
2. 2
   Расстояние между домом и столбом и разность высот являются катетами прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора длина провода равна:$$l=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{225+64}=\sqrt{289}=17\text{ м}$$

Расстояние по масштабу

Масштаб карты такой, что в одном сантиметре 8,5 км. Чему равно расстояние между городами (в км), если на карте оно составляет 4 см?

1. 1
   По условию 1 см на карте соответствует 8,5 км на местности. На карте расстояние равно 4 см.$$S = 4 \cdot 8{,}5$$
2. 2
   Вычисляем расстояние между городами:$$S = 34$$

Площадь участка без дома

Дачный участок имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 40 м и 50 м. Дом, расположенный на участке, имеет на плане форму квадрата со стороной 9 м. Найдите площадь части участка, не занятой…

1. 1
   Найдём площадь дачного участка прямоугольной формы:$$S_1 = 40 \cdot 50 = 2000\ \text{м}^2$$
2. 2
   Найдём площадь дома квадратной формы:$$S_2 = 9^2 = 81\ \text{м}^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина забора участка

Участок земли под строительство санатория имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 800 м и 400 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль моря, а три остальные стороны нужно обнести…

1. 1
   Большая сторона длиной 800 м идёт вдоль моря, поэтому вдоль неё забор не устанавливают.
2. 2
   Забор устанавливают на другой большой стороне и на двух малых сторонах.$$L = 800 + 2 \cdot 400$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Высота фонаря по тени

Человек, рост которого равен 1,6 м, стоит на расстоянии 3 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 2 м. Определите высоту фонаря (в метрах).

1. 1
   Большой треугольник с вершиной в верхней точке фонаря и малый треугольник с вершиной в верхней точке человека подобны.$$\frac{H}{3+2}=\frac{1{,}6}{2}$$
2. 2
   Найдём высоту фонаря:$$H=\frac{1{,}6\cdot 5}{2}=4$$

Длина забора участка

Участок земли для строительства дачи имеет форму прямоугольника, стороны которого равны 50 м и 30 м. Одна из бо́льших сторон участка идёт вдоль реки, а три остальные стороны нужно огородить забором…

1. 1
   Сторона длиной 50 м вдоль реки забором не ограждается. Нужно огородить вторую сторону длиной 50 м и две стороны длиной 30 м.
2. 2
   Находим общую длину забора:$$50 + 30 + 30 = 110$$

Площадь пола и дощечки

Пол комнаты, имеющей форму прямоугольника со сторонами 7 м и 8 м, требуется покрыть паркетом из прямоугольных дощечек со сторонами 10 см и 40 см. Сколько потребуется таких дощечек?

1. 1
   Переведём размеры дощечки из сантиметров в метры: $10\ \text{см} = 0{,}1\ \text{м}$, $40\ \text{см} = 0{,}4\ \text{м}$.
2. 2
   Найдём площадь пола комнаты:$$S_1 = 7 \cdot 8 = 56\ \text{м}^2$$

Ещё 2 шага — в полном решении