Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по базовой математике: «Уравнения» — с ответами

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим сторону $b$ из формулы площади:$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{13}{2} \cdot 30}{12 \cdot 13}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — длины двух сторон треугольника, $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $b = 13$, $c = 12$ и $\sin\alpha = \dfrac{1}{3}$.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 13 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{3}$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$S = 26$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — длины двух сторон треугольника, $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S$…

1. 1
   Подставим данные в формулу площади треугольника.$$S = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 9 \cdot \frac{1}{3}$$
2. 2
   Сократим множители и вычислим значение площади.$$S = 8 \cdot 3 = 24$$

Кинетическая энергия тела

Кинетическая энергия тела (в джоулях) вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела (в килограммах), а $v$ — его скорость (в $\text{м}/\text{с}$). Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу значения $m = 10$ кг и $v = 4$ м/с.$$E = \dfrac{10 \cdot 4^2}{2}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$E = \dfrac{10 \cdot 16}{2} = 80\ \text{Дж}$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$3 = \frac{1}{2} \cdot d_1 \cdot 14 \cdot \frac{3}{14}$$
2. 2
   Сократим множители и решим уравнение:$$3 = \frac{3}{2}d_1, \quad d_1 = 2$$

Растяжение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Выразим абсолютное растяжение пружины из закона Гука.$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и коэффициента упругости.$$x = \dfrac{66}{6} = 11$$

Перевод температуры по формуле

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим значение температуры по шкале Цельсия в формулу.$$t_F = 1{,}8 \cdot 29 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$t_F = 52{,}2 + 32 = 84{,}2$$

Энергия заряженного конденсатора

Энергия заряженного конденсатора $W$ (в Дж) вычисляется по формуле $W = \dfrac{q^2}{2C}$, где $C$ — ёмкость конденсатора (в Ф), а $q$ — заряд на одной обкладке конденсатора (в Кл). Найдите $W$ (в…

1. 1
   Подставим значения $q$ и $C$ в формулу энергии конденсатора.$$W = \frac{(0{,}0012)^2}{2 \cdot 10^{-4}}$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$W = \frac{1{,}44 \cdot 10^{-6}}{2 \cdot 10^{-4}} = 0{,}0072$$

Расчёт количества теплоты

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $c$ — удельная теплоёмкость (в…

1. 1
   Находим изменение температуры тела:$$t_2 - t_1 = 409 - 405 = 4\ \text{К}$$
2. 2
   Подставляем известные значения в формулу количества теплоты:$$Q = cm(t_2 - t_1) = 450 \cdot 4 \cdot 4 = 7200\ \text{Дж}$$

Расчёт массы по энергии

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи её поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в…

1. 1
   Выразим массу тела из формулы потенциальной энергии.$$m = \dfrac{E}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m = \dfrac{490}{9{,}8 \cdot 5} = \dfrac{490}{49} = 10$$

Нахождение ребра параллелепипеда

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = abc$, где $a$, $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a$, если $V = 55$…

1. 1
   Из формулы $V = abc$ выразим длину ребра $a$:$$a = \dfrac{V}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = \dfrac{55}{2 \cdot 5{,}5} = \dfrac{55}{11} = 5$$

Растяжение пружины по закону Гука

Закон Гука можно записать в виде $F = kx$, где $F$ — сила (в ньютонах), с которой растягивают (сжимают) пружину, $x$ — абсолютное растяжение (сжатие) пружины (в метрах), а $k$ — коэффициент…

1. 1
   Из закона Гука выразим абсолютное растяжение пружины:$$x = \dfrac{F}{k}$$
2. 2
   Подставим заданные значения силы и коэффициента упругости:$$x = \dfrac{36}{3} = 12$$

Нахождение стороны треугольника

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим $b$ из формулы площади треугольника.$$b = \dfrac{4RS}{ac}$$
2. 2
   Подставим известные значения и вычислим.$$b = \dfrac{4 \cdot \frac{65}{8} \cdot 24}{13 \cdot 15} = \dfrac{780}{195} = 4$$

Длина диагонали четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$5 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot d_2 \cdot \frac{1}{11}$$
2. 2
   Упростим выражение:$$5 = \frac{5d_2}{11}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 48$ в формулу перевода температуры.$$t_F = 1{,}8 \cdot 48 + 32$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$t_F = 86{,}4 + 32 = 118{,}4$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 124$ в формулу перевода температуры.$$t_F = 1{,}8 \cdot 124 + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления.$$t_F = 223{,}2 + 32 = 255{,}2$$

Нахождение массы по силе

Второй закон Ньютона можно записать в виде $F = ma$, где $F$ — сила (в ньютонах), действующая на тело, $m$ — его масса (в килограммах), $a$ — ускорение (в м/с^2), с которым движется тело. Найдите…

1. 1
   Выразим массу из формулы второго закона Ньютона.$$m = \dfrac{F}{a}$$
2. 2
   Подставим известные значения силы и ускорения.$$m = \dfrac{161}{23} = 7$$

Стоимость колодца из колец

В фирме «Родник» стоимость (в рублях) колодца из железобетонных колец рассчитывается по формуле $C = 6000 + 4100n$, где $n$ — число колец, установленных при рытье колодца. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим в формулу стоимости $C = 6000 + 4100n$ значение $n = 9$.$$C = 6000 + 4100 \cdot 9$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение.$$C = 6000 + 36900 = 42900$$

Подбор набора экскурсий

Турист подбирает экскурсии. Сведения об экскурсиях представлены в таблице. Пользуясь таблицей, подберите набор экскурсий так, чтобы турист посетил четыре объекта: крепость, загородный дворец, парк и…

1. 1
   Экскурсия 1 позволяет посетить загородный дворец и крепость.
2. 2
   Экскурсия 5 позволяет посетить парк и музей живописи.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Минимальная стоимость набора

Для обработки дачного участка дачнику необходимо приобрести: лопату, тяпку, вилы и грабли. В магазине продаются наборы инструментов, некоторые наборы состоят только из одного инструмента. Цены…

1. 1
   Рассмотрим вариант с наборами 1, 3 и 5: набор 1 содержит грабли и тяпку, набор 3 — вилы, набор 5 — лопату.$$1 + 3 + 5$$
2. 2
   Стоимость этого полного комплекта равна:$$430 + 180 + 200 = 810$$

Ещё 2 шага — в полном решении