Задание 4 ЕГЭ по базовой математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Площадь треугольника по сторонам

Площадь треугольника со сторонами $a$, $b$, $c$ можно найти по формуле Герона $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, где $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. Найдите площадь треугольника, если длины его сторон равны 13…

1. 1
   Найдём полупериметр треугольника:$$p = \dfrac{13+14+15}{2} = 21$$
2. 2
   Подставим стороны и полупериметр в формулу Герона:$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Теорема синусов

Теорему синусов можно записать в виде $\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ и $\beta$ — углы треугольника, лежащие против них…

1. 1
   Из теоремы синусов выразим синус угла $\alpha$:$$\sin\alpha=\frac{a\sin\beta}{b}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$\sin\alpha=\frac{4\cdot\frac{2}{5}}{2}=\frac{4}{5}=0{,}8$$

Ускорение при движении по окружности

Ускорение тела (в м/с$^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения (в с$^{-1}$), а $R$ — радиус окружности (в…

1. 1
   Подставим в формулу $a = \omega^2 R$ значения $\omega = 8$ и $R = 2{,}5$.$$a = 8^2 \cdot 2{,}5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$a = 64 \cdot 2{,}5 = 160$$

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = I^2Rt$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу:$$A = I^2Rt = 2^2 \cdot 13 \cdot 5$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$A = 4 \cdot 13 \cdot 5 = 260$$

Расчёт количества теплоты

Количество теплоты (в джоулях), полученное однородным телом при нагревании, вычисляется по формуле $Q = cm(t_2 - t_1)$, где $c$ — удельная теплоёмкость тела (в…

1. 1
   Находим разность конечной и начальной температур:$$t_2 - t_1 = 412 - 407 = 5$$
2. 2
   Подставляем значения в формулу количества теплоты:$$Q = cm(t_2 - t_1) = 300 \cdot 3 \cdot 5 = 4500$$

Площадь треугольника по формуле

Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{abc}{4R}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус окружности, описанной около этого треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим значения $a$, $b$, $c$ и $R$ в формулу площади треугольника.$$S = \dfrac{6 \cdot 25 \cdot 29}{4 \cdot \dfrac{145}{8}}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель.$$S = \dfrac{4350}{\dfrac{145}{2}}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Работа постоянного тока

Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $A = I^2Rt$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$…

1. 1
   Подставим в формулу значения $I = 6$, $R = 5$ и $t = 2$.$$A = 6^2 \cdot 5 \cdot 2$$
2. 2
   Вычислим значение выражения.$$A = 36 \cdot 5 \cdot 2 = 360$$

Среднее гармоническое чисел

Среднее гармоническое трёх чисел $a$, $b$ и $c$ вычисляется по формуле $h=\left(\dfrac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\right)^{-1}$. Найдите среднее гармоническое чисел $\dfrac{1}{2}$…

1. 1
   Найдём обратные величины данных чисел:$$\frac{1}{\frac{1}{2}}=2,\quad \frac{1}{\frac{1}{9}}=9,\quad \frac{1}{1}=1$$
2. 2
   Подставим их в формулу среднего гармонического:$$h=\left(\frac{2+9+1}{3}\right)^{-1}=\left(\frac{12}{3}\right)^{-1}=4^{-1}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы $l_c$, проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, вычисляется по формуле $l_c = \dfrac{1}{a+b}\sqrt{ab\left((a+b)^2-c^2\right)}$. Найдите биссектрису…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу:$$l_c=\dfrac{1}{2+8}\sqrt{2\cdot8\left((2+8)^2-(5\sqrt{3})^2\right)}$$
2. 2
   Вычислим значения выражений под корнем:$$l_c=\dfrac{1}{10}\sqrt{16\left(100-75\right)}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт массы по энергии

Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи её поверхности вычисляется по формуле $E = mgh$, где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в…

1. 1
   Выразим массу тела из формулы потенциальной энергии.$$m = \dfrac{E}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$m = \dfrac{490}{9{,}8 \cdot 5} = \dfrac{490}{49} = 10$$

Расчёт мощности тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $P$ (в ваттах), если $R = 12$…

1. 1
   Подставим в формулу $P = I^2R$ значения $I = 7$ и $R = 12$.$$P = 7^2 \cdot 12$$
2. 2
   Вычислим значение выражения:$$P = 49 \cdot 12 = 588$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим известные значения в формулу площади:$$19 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot d_2 \cdot \frac{1}{3}$$
2. 2
   Упростим выражение: множители $\frac{1}{2}$, $6$ и $\frac{1}{3}$ дают $1$.$$19 = d_2$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах по шкале Цельсия, $t_F$ — температура в градусах по…

1. 1
   Подставим $t_C = 139$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot 139 + 32$$
2. 2
   Выполним умножение и сложение:$$t_F = 250{,}2 + 32 = 282{,}2$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, а $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_1$ из формулы площади:$$d_1 = \dfrac{2S}{d_2\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_1 = \dfrac{2 \cdot 36}{15 \cdot \frac{2}{5}} = \dfrac{72}{6} = 12$$

Площадь трапеции по формуле

Площадь трапеции можно вычислить по формуле $S = \dfrac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — её высота. Пользуясь этой формулой, найдите площадь трапеции $S$, если $a = 8$…

1. 1
   Подставим заданные значения в формулу площади трапеции.$$S = \dfrac{8+14}{2} \cdot 10$$
2. 2
   Вычислим сумму оснований и разделим её пополам.$$S = \dfrac{22}{2} \cdot 10 = 11 \cdot 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расчёт сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите $R$ (в омах), если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$R = \dfrac{541{,}5}{9{,}5^2} = \dfrac{541{,}5}{90{,}25} = 6$$

Площадь по диагоналям

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}d_1d_2\sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Подставим в формулу значения диагоналей и синуса угла:$$S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \cdot \frac{2}{7}$$
2. 2
   Сократим множители и вычислим значение площади:$$S = 4$$

Синус угла треугольника

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \dfrac{1}{2}bc\sin\alpha$, где $b$ и $c$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите величину…

1. 1
   Выразим синус угла из формулы площади треугольника.$$\sin\alpha = \dfrac{2S}{bc}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$\sin\alpha = \dfrac{2 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \dfrac{12}{30} = 0.4$$

Радиус описанной окружности

Радиус окружности, описанной около треугольника, можно вычислить по формуле $R = \dfrac{a}{2\sin\alpha}$, где $a$ — сторона, а $\alpha$ — противолежащий ей угол треугольника. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим сторону $a$ из формулы радиуса:$$a = 2R\sin\alpha$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$a = 2 \cdot 9 \cdot \dfrac{1}{3} = 6$$

Теорема косинусов

Теорему косинусов можно записать в виде $\cos \alpha = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$, где $a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между сторонами $a$ и $b$. Пользуясь этой формулой…

1. 1
   Подставим значения $a = 5$, $b = 8$ и $c = 9$ в формулу теоремы косинусов.$$\cos \alpha = \dfrac{5^2 + 8^2 - 9^2}{2 \cdot 5 \cdot 8}$$
2. 2
   Вычислим числитель и знаменатель дроби.$$\cos \alpha = \dfrac{25 + 64 - 81}{80} = \dfrac{8}{80} = 0.1$$